Calculul valorilor si vectorilor proprii

310 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Pentru a încheia constructiv acest paragraf, vom considera ca fiind exact rangul
oferit de instrumentele numerice existente şi, pentru a apela la proceduri deja
familiare cititorului, vom folosi în acest scop triangularizarea unitară (ortogonală)
completă 44 (v. cap. 3). Reamintim că, dată o matrice A ∈ IC m×n , procedura de
triangularizare unitară completă presupune o triangularizare unitară cu pivotarea
coloanelor care calculează matricea unitară Q ∈ IC m×m şi matricea (ortogonală) de
permutare P ∈ IR n×n astfel încât
Q H AP = R =
[
R11 R 12
0 0
]
, R 11 ∈ IC r×r , (4.247)
unde R 11 este superior triunghiulară nesingulară (i.e. r este rangul matricei A),
urmatădeanulareabloculuiR 12 printr-otransformareunitară(ortogonală)aplicată
pe dreapta, obţinându-se
Q H APV = Q H AZ = RV =
[
R11 0
0 0
]
, Z = PV. (4.248)
În cele ce urmează, vom utiliza variante ale descompunerii (4.248) obţinute prin
permutări suplimentare ale blocurilor. În acest scop vom introduce sintaxa de apel
[R,Q,Z,r] = QRCij(A),
unde ij marchează poziţia blocului triunghiular nesingular R 11 , indexat în continuare
în funcţie de necesităţile contextului. Subliniem încă o dată că, deşi rangul
calculat r este esenţial dependent de nivelul erorilor de calcul şi al toleranţelor
practicate în procesul de triangularizare, în cele ce urmează acesta va fi considerat
exact.
Trecem la construcţia formei canonice Jordan a matricei strict superior triunghiulare
(deci nilpotente) N ∈ IC n×n , şi vom presupune N ≠ 0 45 . Esenţa
procedurii de construcţie a formei Jordan constă în următoarele etape.
Etapa 1 ◦ rezidă în reducerea matricei N la o structură bloc supradiagonală.
Pentru a obţine această structură aplicăm matricei N procedura de triangularizare
unitară (ortogonală) completă [N 1 ,Q 1 ,Z 1 ,r 1 ] = QRC12(N). Rezultă
cu R 1 ∈ IC r1×r1 nesingulară şi
Q H 1 NZ 1 = R =
m 1=δ 1
r 1
{}}{ {}}{
[ ]
0 R1 }r1
, (4.249)
0 0 }δ 1
m 1 = dimKerN = n−r 1 = δ 1 . (4.250)
44 Un mijloc mai bun de evaluare a rangului este descompunerea valorilor singulare, tratată în
capitolul 5.
45 Dacă N = 0, atunci ea se află deja în formă canonică Jordan cu n celule de ordinul 1.