Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.3. ALGORITMUL QZ 463
(H,T)←((Q (24)
34 )H H,(Q (24)
34 )H T) = ( ⎢
⎣
⎡
× × × ×
× × × ×
0 × × ×
0 + × ×
⎤ ⎡
⎥
⎦ , ⎢
⎣
× × × ×
0 0 × ×
0 0 0 ×
0 0 0 ∅
⎤
⎥
⎦ ),
⎡
(H,T) ← (HZ (24)
23 ,TZ(24) 23 ) = ( ⎢
⎣
×
×
0
0
× ×
× ×
× ×
∅ ×
×
×
×
×
⎤ ⎡
⎥
⎦ , ⎢
⎣
×
0
0
0
× ×
+ ×
0 0
0 0
×
×
×
0
⎤
⎥
⎦ )
⎡
(H,T) ← (HZ (24)
34 ,TZ(24) 34 ) = ( ⎢
⎣
× ×
× ×
0 ×
0 0
× ×
× ×
× ×
∅ ×
⎤ ⎡
⎥
⎦ , ⎢
⎣
× ×
0 ×
0 0
0 0
× ×
× ×
+ ×
0 0
⎤
⎥
⎦ ).
Prin urmare, în exemplul considerat, deplasareazeroului din poziţia (2,2) în poziţia
(4,4) a matricei T se realizează cu secvenţa
(H,T) ← ((Q (24)
34 )H (Q (24)
23 )H HZ (24)
12 Z(24) 23 Z(24) 34 ,(Q(24) 34 )H (Q (24)
23 )H TZ (24)
12 Z(24) 23 Z(24) 34 )
def
= ((Q (24) ) H HZ (24) ,(Q (24) ) H TZ (24) ).
În cazul general, deplasarea unui zero din poziţia (k,k), k ∈ 2:n−1, în poziţia
(n,n) se face cu secvenţa
H ← (Q (kn)
n−1,n )H ···(Q (kn)
k+1,k+2 )H (Q (kn)
k,k+1 )H HZ (kn)
k−1,k Z(kn) k,k+1···Z(kn) n−2,n−1 Z(kn) n−1,n
def
= (Q (kn) ) H HZ (kn) , (6.44)
T ← (Q (kn)
n−1,n )H ···(Q (kn)
k+1,k+2 )H (Q (kn)
k,k+1 )H TZ (kn)
k−1,k Z(kn) k,k+1···Z(kn) n−2,n−1 Z(kn) n−1,n
def
= (Q (kn) ) H TZ (kn) . (6.45)
Dacă matricea superiortriunghiulară T are un singur zero diagonal, atunci după
deplasarea sa pe ultima poziţie diagonală 12 perechea (H,T) transformată va avea
structura [ ] [ ]
˜H h ˜T t
H = , T = , (6.46)
0 h nn 0 0
cu perechea ( ˜H, ˜T) în formă Hessenberg generalizatăşi cu ˜T nesingulară. Fascicolul
iniţial este regulat dacă şi numai dacă în (6.46) h nn ≠ 0. În acest caz procedura a
pus în evidenţă o valoare proprie generalizată infinită.
12 Vezi nota de picior precedentă.