Calculul valorilor si vectorilor proprii

416 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
Combinând excelenta condiţionare a valorilor singulare cu stabilitatea numerică
a algoritmului DVS, se poate afirma ca descompunerea valorilor singulare este cel
mai bun mijloc de a calcula invarianţii unei matrice la transformările de echivalenţă
(cum este rangul). Concret valorile singulare calculate ˆσ i satisfac inegalităţile
|ˆσ i −σ i | ≤ p(m,n)‖A‖ε M = p(m,n)σ 1 ε M . (5.117)
Deci, pentru toate valorile singulare avem aceeaşi margine de eroare absolută, ceea
ce înseamnă că valorile singulare mari vor avea erori relative mici.
Pentru vectorii singulari şi subspaţiile generate de aceştia, erorile raportate la
matricea iniţială pot fi amplificate de numerele de condiţionare, astfel că putem
scrie
θ(u i ,û i ) ≤ p(m,n)‖A‖ε M
gap i
, θ(U I ,ÛI) ≤ p(m,n)‖A‖ε M
gap I
. (5.118)
În sfârşit, menţionăm că cea mai mare acumulare a erorilor are loc în faza de reducere
la forma bidiagonală, faza iterativă a algoritmului DVS având o contribuţie
modestă în acest sens. Prin urmare, pentru matricele bidiagonale, chiar erorile relative
ale tuturor valorilor singulare sunt mărginite de un multiplu modest al erorilor
de reprezentare. Pentru amănunte, vezi [XV].
5.6 Aplicaţiile DVS
În prima secţiune a acestui capitol au fost introduse o serie de concepte şi probleme
decalcul numericconexe, problemeacărorrezolvarese poatefaceperformant
apelând la DVS a unormatrice. Cu aceastăocazieau fost prezentate şi demonstrate
rezultate matematice care sugerează unele modalităţi de calcul. În secţiunea de
faţă ne propunem să revenim asupra acestor probleme în vederea dezvoltării unor
proceduri de calcul fiabile, pentru relevarea unor aspecte numerice semnificative
precum şi pentru extinderea unor rezultate în contextul utilizării algoritmului DVS
pentru calculul valorilor singulare.
5.6.1 Trunchierea DVS calculate. Calculul rangului.
Rangul numeric
În conformitate cu propoziţia 5.2, rangul unei matrice este dat de numărul valorilor
sale singulare nenule 24 . Acest rezultat fundamental are o utilitate redusă în
aplicaţiile curente încare matricele de date sunt, în general, rezultatul unor evaluări
aproximative, iar utilizarea calculatorului pentru determinarea valorilor singulare
este însoţită de erori. În astfel de situaţii, generic, toate valorile singulare calculate
sunt, în sens strict, nenule. Prin urmare, generic, în urma procesării în medii de
calcul aproximativ, toate matricele devin de rang maximal şi, datorită acestui fapt,
24 O alternativă viabilă, cu un efort de calcul mai redus, pentru rezolvarea problemelor de rang
este dată de triangularizarea unitară (ortogonală) cu pivotarea coloanelor (vezi cap. 3.). Din
punctul de vedere al calităţilor numerice DVS constituie însă metoda cea mai bună (vezi exemplul
din acest paragraf).