Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.3. ALGORITMUL DVS 403
Având în vedere acest fapt, suntem interesaţi să accceptăm ca parametri de intrare
şide ieşirepentrualgoritmulIT DVSc matriceU şi V cuun numărde liniisuperior
celui precizat în preambulul algoritmului. Utilizarea în instrucţiunile 5.1, 6.6.1 şi
6.7.8.1 a simbolului ”:” cu semnificaţia de ”toate liniile” face ca să nu fie necesare
nici un fel de modificări ale algoritmului. Acelaşi mecanism de simbolizare permite
o codificare directă a algoritmului în MATLAB. Pentru alte limbaje de programare
se vor face precizările de indexare ce se impun.
✸
B. Algoritmul DVS
Algoritmul DVS constă din paşii iterativi Golub-Kahan aplicaţi părţii ireductibile
a matricei bidiagonale J, anularea elementelor diagonale şi supradiagonale devenite
neglijabile, conform unui criteriu acceptat, şi reducerea, pe această bază, a dimensiunii
problemei de diagonalizare, până la epuizare. În final, după un număr finit
20
de paşi, se obţine o matrice diagonală a cărei DVS se obţine imediat. În legătură cu
moduldegestionarestructuralăamatriceicurenteaşiruluiDVS facemurmătoarele
precizări.
1. Pentru deciziile de anulare a elementelor supradiagonale se poate utiliza
următorul criteriu
Dacă |g i | ≤ tol(|f i |+|f i+1 |) atunci g i = 0. (5.91)
2. Tratarea situaţiilor în care condiţiile de ireductibilitate (5.79) ale matricei
T = J H J nu sunt satisfăcute se face diferenţiat în funcţie de faptul că elementul
nul se află pe supradiagonală sau pe diagonală. În continuare, referirile le facem la
matricea bidiagonală J iniţială definită de vectorii f ∈ IC n şi g ∈ IC n−1 .
– Dacă este nul un element terminal al vectorului g, i.e. g 1 = 0 sau g n−1 = 0,
atunci problema se reduce, evident, la o problemă de dimensiune inferioară cu o
unitate. Dacă ambele elemente terminale menţionate sunt nule, atunci dimensiunea
problemei reduse este n−2.
– Dacă există un singur element supradiagonalneterminal nul, i.e. g i = 0 pentru
un i ∈ 2 : n−2, atunci matricea J se scrie sub forma
[ ]
J1 0
J = , J
0 J 1 ∈ IC i×i , J 2 ∈ IC (n−i)×(n−i) , (5.92)
2
cu matricele J H 1 J 1 şi J H 2 J 2 tridiagonale ireductibile, i.e. problema se sparge în
două probleme de aceeaşi natură dar de dimensiuni mai mici. Dacă sunt mai multe
elemente supradiagonale nule, atunci problema îşi reduce, similar, dimensiunea sau
se sparge în două sau mai multe probleme de dimensiuni mai mici.
– Dacă există un singur element diagonal nul, i.e. f i = 0 pentru un i ∈ 1 : n−1,
atunci existăoprocedurăcare, prin transformăriunitare (e.g. osecvenţăde rotaţii),
anulează şi elementul supradiagonal de pe aceeaşi linie, creând astfel posibilitatea
divizării problemei ca în (5.92). Schema de calcul este următoarea.
20 Datorită deciziilor de anulare efectivă a elementelor neglijabile.