Calculul valorilor si vectorilor proprii

492 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
unde, prin urmare, cel puţin unul din blocurile diagonale S 11 (T 11 ), S 22 (T 22 ) este
2×2. În principiu, putem aplica ideile utilizate la elaborarea algoritmului PG11
i.e. calculul unei baze ortogonale a subspaţiului de deflaţie asociat valorilor proprii
generalizate ale perechii (S 22 ,T 22 ) şi aplicarea propoziţiei 6.2. Propunem cititorului
implementarea acestor idei. Aici vom urma o cale echivalentă care utilizează
algoritmul QZ cu deplasare implicită. Având în vedere faptul că perechea (S,T)
din (6.84) este deja în formă Schur reală generalizată rezultă că putem determina
deplasarea (în formă implicită) exactă care, utilizată în algoritmul QZ2 pune în
evidenţă, în poziţia (2,2) perechea cu valorile proprii dorite, în cazul nostru, în
vederea permutării, cu valorile proprii ale perechii (S 11 ,T 11 ). Cunoaşterea exactă a
deplasării face ca, teoretic, să fie suficientă o singură iteraţie QZ pentru obţinerea
rezultatului dorit. În practică, dacă nivelul de toleranţă practicat este de ordinul
de mărime al erorilor de rotunjire, este posibil să fie necesare câteva (două-trei)
iteraţii pentru a putea considera elementele blocului 21 neglijabile. De asemenea,
întrucât algoritmul QZ2 cu deplasări implicite efectuează calculele aferente unei
iteraţii numai asupra perechilor în formă Hessenberg generalizată ireductibilă este
necesar mai întâi un pas QZ artificial care să altereze structura Schur reală generalizată
a perechii (S,T). În consecinţă, toate cele trei tipuri de permutare se vor
supune următoarei scheme de calcul.
PGkl
1. Se determină elementele definitorii exacte pentru vectorul w de deplasare
implicită (i.e. valoarea proprie generalizată dacă prima pereche de blocuri
este 1×1, respectiv suma s şi produsul p ale valorilor proprii generalizate
în cazul când prima pereche de blocuri este 2×2).
2. Se execută un pas QZ cu un vector de deplasare implicită fixat aleator
(e.g. alegerea w = [1 1 1] T dă bune rezultate).
3. Se aplică algoritmul QZ cu deplasarea implicită exactă (i.e. calculată cu
elementele de la punctul 1).
Pentru fascicolul de ordinul n (6.82), permutarea blocurilor adiacente (S kk ,T kk )
şi (S k+1,k+1 ,T k+1,k+1 ) ale formei Schur reale generalizate (S,T) ∈ IR n×n ×IR n×n se
obţine folosind transformarea ortogonală de echivalenţă (S ′ ,T ′ ) = (Q T SZ,Q T TZ)
definită de
Q = diag(I r , ˜Q,I s ), Z = diag(I r , ˜Z,I s ), (6.85)
unde transformarea definită de matricele ˜Q şi ˜Z, de ordinul 2, 3 sau 4, asigură
permutarea blocurilor diagonale ale perechii
[ ] [ ]
Skk S ˜S = k,k+1 Tkk T
, ˜T = k,k+1
, (6.86)
0 S k+1,k+1 0 T k+1,k+1
şi unde r este ordinul cumulat al blocurilor diagonale 1 : (k −1), iar s este ordinul
cumulat al blocurilor diagonale (k +2) : p.
Vomimplementaschemadecalculdemaisus într-unalgoritmcarevatratatoate
cazurile. Pentru aceasta vom utiliza rezultatele stabilite şi procedurile elaborate în
acest capitol. Pentru o înţelegere mai lesnicioasă a algoritmului facem următoarele
precizări: