Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.6. APLICAŢIILE DVS 419
urmare, şi determinanţi aşijderea, pot avea o condiţionare foarte bună. Pentru
detalii, vezi capitolul 2.
✸
Una dintre consecinţele conceptuale importante ale teoremei 5.14 este faptul că
matricele m×n de rang maximal formează o mulţime deschisă şi densă în IC m×n , i.e.
generic, toate matricele sunt de rang maximal. De aceea, în problemele de calcul
numeric care fac apel la noţiunea de rang, utilizarea noţiunii de rang numeric este
indispensabilă.
Prezentăm încontinuareun corolaral teoremei 5.14. În contextul lucrării, rezultatul
are o utilitate practică evidentă.
Corolar 5.3 Dacă matricea A ∈ IC m×n are rangul numeric ˜r = rang(A,ǫ), atunci
unde p = min(m,n).
σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥ σ˜r > ǫ ≥ σ˜r+1 ... ≥ σ p , (5.122)
Demonstraţie. Dacă σ˜r+1 > ǫ rezultă rang(A,ǫ) > ˜r, iar dacă σ˜r ≤ ǫ, atunci
rang(A,ǫ) < ˜r. Deci, σ˜r > ǫ ≥ σ˜r+1 .
✸
Observaţia 5.7 Practic toate aplicaţiile care utilizează DVS a unei matrice, fac
apel la rangul acesteia. În contextul calculatoriu al lucrării, în continuare vom presupune
că este vorba implicit de rangul numeric. În consecinţă, vom presupune
că s-au neglijat, prin anulare efectivă, valorile singulare inferioare toleranţei precizate
şi vom renunţa la notaţii speciale care diferenţiază rangul numeric de rangul
matematic.
✸
Deşi, având în vedere corolarul 5.3 şi observaţia 5.7, scrierea unui algoritm pentru
determinarea rangului numeric al unei matrice nu prezintă nici o dificultate,
totuşi, ţinând seama de importanţa aplicativă a problemei, considerăm necesară
îndeplinirea acestei formalităţi.
Algoritmul 5.6 (Rang DVS – Calculul rangului numeric) (Date
matricea A ∈ IC m×n şi toleranţa tol > 0, algoritmul calculează rangul
numeric r = rang(A,tol) al matricei A.)
1. p = min(m,n)
2. [U,Σ,V] = DVS(A, ′ nu ′ , ′ nu ′ )
3. r = 0
4. C^at timp Σ r+1,r+1 ≥ tol
1. r ← r +1
2. Dacă r = p atunci break
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului este
r = Rang DVS(A,tol).
În aplicaţiile caresunt prezentate încontinuarese vorivi situaţii în careeste necesar
atât calculul rangului cât şi calculul explicit al DVS a matricei A. Pentru a evita
un calcul dublu al aceleiaşi DVS, se va utiliza secvenţa de apeluri