Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 225
unitară şi Λ diagonală cu elementele diagonale de modul unitar, atunci prin calcul
direct rezultă imediat A H A = I n , i.e. A este unitară. În cazul real demonstraţia
este identică cu singura menţiune suplimentară că alături de orice valoare proprie
complexă λ j = e iθj ∈ IC\IR apare şi conjugata ei λ j = e −iθj . ✸
Observaţia 4.2 Este simplu de constatat că dacă o matrice complexă A este
normală, hermitică sau unitară, atunci orice matrice B unitar asemenea cu A are
aceleaşi proprietăţi. Similar, în cazul real, proprietăţile de normalitate, simetrie şi
ortogonalitate sunt conservate de transformările ortogonale de asemănare. Această
invarianţă explică utilizarea exclusivă a transformărilor unitare (ortogonale) în demersul
calculatoriu legat de valorile şi vectorii proprii.
✸
Încheiem acest paragraf cu precizarea că principala proprietate comună a celor
trei tipuri de matrice menţionate mai sus, indusă de proprietatea de normalitate,
constă în faptul că toate admit seturi complete de vectori proprii ortogonali, fapt
care le conferă o perfectă condiţionare a spectrelor de valori proprii (v. § 4.10).
4.1.5 Localizarea valorilor proprii
În finalul acestei secţiuni introductive vom prezenta câteva rezultate privitoare la
localizarea valorilor proprii în planul complex, rezultate utile atât prin ele însele cât
şi în contextul stabilirii iniţializărilor pentru diverse metode iterative de calcul sau
al analizei sensibilităţii valorilor proprii la perturbaţii în matricea dată.
Unele din cele mai cunoscute rezultate în această privinţă sunt oferite de teoremele
următoare.
Teorema 4.10 Oricare ar fi matricea A ∈ IC n×n şi ‖·‖ o familie arbitrară de norme
consistente avem
ρ(A) ≤ ‖A‖. (4.65)
Demonstraţie. Din proprietatea de consistenţă a familiei de norme pentru orice
λ ∈ λ(A) şi vector propriu asociat x cu ‖x‖ = 1 avem |λ| = ‖λx‖ = ‖Ax‖ ≤
≤ ‖A‖‖x‖ = ‖A‖, de unde rezultă (4.65) 9 .
✸
Teorema 4.11 (Gershgorin) Valorile proprii ale unei matrice A ∈ IC n×n sunt situate
în domeniul D din planul complex definit de
D =
n⋃
D i , (4.66)
i=1
9 Există şi un rezultat, datorat lui Householder (v. exerciţiul 4.32), care arată că pentru
orice ε > 0 există o normă consistentă ‖ · ‖ astfel încât ‖A‖ ≤ ρ(A) + ε, relaţie care, împreună
cu (4.65), permite aproximarea oricât de bună a razei spectrale a unei matrice cu ajutorul unei
norme a acesteia. Din păcate, această normă este o normă specială care depinde de A şi ε, astfel
că rezultatul menţionat are o valoare în primul rând teoretică.