Calculul valorilor si vectorilor proprii

398 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
Complexitatea acestei proceduri este apreciată, pentru date reale, la Nop R ≈ 2mn2 +
+2n 3 , fără acumularea transformărilor. Rezultă N op − Nop R = 2n 2 (m − 5 3n), i.e.
R-bidiagonalizarea devine asimptotic mai eficientă dacă m > 5 3n. Consideraţii
similare asupra complexităţii se pot face şi pentru diverse variante de acumulare a
transformărilor (vezi [VI]).
✸
Observaţia 5.5 Utilizând reflectori complecşi nehermitici (vezi cap. 3) adecvat
calculaţi, este posibilă reducerea unei matrice complexe la o matrice bidiagonală
reală prin transformăriunitare de echivalenţă. Această versiune a algoritmului JQc
permite utilizarea exclusivă a unei aritmetici reale în faza iterativă a algoritmului
DVS şi este folosită, de exemplu, în pachetul de programe LAPACK. Detaliile
algoritmului fac obiectul exerciţiului 5.15.
✸
5.3.2 Faza iterativă a algoritmului DVS
Faza iterativă construieşte un şir de matrice
J = J 1 , J 2 , ···, J k , ··· (5.74)
[ ]
Σ1 0
convergent către matricea diagonală reală Σ= , Σ
0 0 1 =diag(σ 1 ,σ 2 ,...,σ r ),
astfel încât şirul matriceal
T 1 = J H 1 J 1 , T 2 = J H 2 J 2 , ..., T k = J H k J k , ... (5.75)
este şirul QR simetric cu deplasare implicită convergent către forma Schur
[ ] Σ
2
S = 1 0
∈ R
0 0
n×n (5.76)
a matricei tridiagonale hermitice (simetrice) T = T 1 .
A. Un pas DVS
Presupunem, în continuare, că matricea superior bidiagonală J ∈ IC m×n este dată
prin vectorii f ∈ IC n şi g ∈ IC n−1 conform (5.73). Având în vedere faptul că transformările
ce definesc un pas QR conservă structura tridiagonală a matricelor T k ,
anticipăm afirmând că un pas DVS va conserva structura bidiagonală astfel încât
toate calculele (mai puţin acumularea transformărilor) pot avea loc în locaţiile de
memorie ale vectorilor f şi g.
Vom determina transformările vectorilor f şi g aferente unui pas DVS prin
transferarea către aceştia a aplicării unui pas al algoritmului QR simetric cu deplasare
implicită matricei tridiagonale
T def
= T k = J H k J k
def
= J H J. (5.77)
În primul rând, aplicabilitatea variantei cu deplasare implicită este condiţionată
de ireductibilitatea matricei T (sau, mai bine zis, iteraţia se aplică numai părţii
ireductibile a matricei T). Ţinând seama de faptul că
t i,i+1 = ¯f i g i , t i+1,i = f i ḡ i , i = 1 : n−1, (5.78)