Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 305
atunci matricea
unde
⎡
X k = ⎣
T ← T (k) = X −1
k T(k−1) X k , (4.235)
⎤
Iñ1 0 0
0 I nk
˜Xk,k+1 ⎦, ñ 1 =
0 0 I n−ñ1−n k
k−1
∑
n i , (4.236)
asigură anularea blocurilor extradiagonale de pe bloc-linia k. Prin urmare, procedura
iniţiată la pasul 1 ◦ poate fi continuată astfel încât, după q −1 paşi, matricea
T ← T (q−1) = X −1
q−1···X−1 2 X−1 1 TX 1X 2···X q−1 = X −1 TX (4.237)
este bloc-diagonală, unde
i=1
X = X 1 X 2···X q−1 (4.238)
este o matrice unitar bloc superior triunghiulară (ca produs de matrice unitar bloc
superior triunghiulare). Demonstraţia este completă.
✸
Conform demonstraţiei de mai sus, schema de calcul pentru bloc-diagonalizarea
unei matrice bloc superior triunghiulare 42 , care satisface condiţiile (4.231), este
următoarea:
1. X = I n
2. Pentru k = 1 : q −1
1. Se calculează soluţia ˜X k,k+1 a ecuaţiei Sylvester (4.234).
2. Se anulează blocurile extradiagonale de pe bloc-linia k pe baza
relaţiei (4.235).
3. X = XX k unde X k este definită de (4.236).
Această schemă de calcul se poate detalia prin rezolvarea ecuaţiei Sylvester (4.234)
pe blocuri. Într-adevăr, fie partiţia
˜X k,k+1 = [ X k,k+1 ··· X kq
]
,
conformă cu partiţia lui ˜T k,k+1 . Atunci ecuaţia (4.234) se reduce la setul de ecuaţii
Sylvester
T kk X kj −X kj T jj =
∑j−1
l=k+1
X kl T lj −T kj , j = k +1 : q, (4.239)
(unde, pentru j = k + 1 suma se consideră nulă) care pot fi rezolvate în ordinea
impusă j = k +1,k +2,...,q. Acumularea transformărilor, se poate face şi ea pe
măsură ce se calculează blocurile. Întrucât bloc-diagonalizarea urmează, de obicei,
reducerii la forma bloc-triunghiulară şi unei eventuale ordonări a blocurilor diagonale
(e.g. calculul formei Schur ordonate), pentru a nu reduce generalitatea vom
considera că matricea iniţială de transformare este Q, posibil diferită de matricea
unitate. Astfel, acumularea transformărilor constă în calculul Q ← QX.
Rezultă următoarea schemă de calcul.
42 Pentru diagonalizarea matricelor bloc inferior triunghiulare se aplică această procedură matricei
transpuse, după care se transpune rezultatul.