Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.6. APLICAŢIILE DVS 421
şi
de unde obţinem
k∑
σj 2 ≥
j=1
k∑
γj 2 = ‖B 11 ‖ 2 F ≥
j=1
k∑
|b jj | 2 ,
j=1
b jj = ˜σ j , j = 1 : k.
Rezultă B 11 = ˜Σ 11 , de unde unicitatea se obţine imediat.
În lumina teoremei 5.15 putem defini rangul numeric r F , în sensul normei matriceale
Frobenius, ca fiind ce mai mic întreg k pentru care
min(m,n)
∑
i=k+1
σ 2 i < ǫ,
unde ǫ este o toleranţă precizată. Şi această definire a noţiunii de rang numeric este
utilă mai ales în contextul calculului numeric, situaţie în care σ i , din relaţia de mai
sus, sunt valorile singulare calculate ale matricei A.
✸
5.6.2 Problema generală a celor mai mici pătrate
Considerăm sistemul liniar
Ax = b (5.124)
în cadrul general în care matricea A ∈ IC m×n nu este de rang maximal 27 (i.e.
r = rangA < min(m,n)), cu b ∈ IC m arbitrar. Formulăm problema rezolvării în
sens CMMP a acestui sistem, respectiv de calcul a vectorului x ∗ ∈ IC n de normă
euclidiană minimă care minimizează norma euclidiană a reziduului r(A,b) = b−Ax,
i.e.
‖x ∗ ‖ = min
‖b−Ax‖ = minim
x ∈ IC n ‖x‖, (5.125)
numită pseudosoluţie normală a sistemului (5.124). Avem următorul rezultat.
Propoziţia 5.7 Sistemul liniar (5.124) admite o pseudosoluţie normală unic determinată.
Dacă A = UΣV H este DVS a matricei A, atunci această pseudosoluţie
normală are expresia
r∑
x ∗ = A + u H j
b =
b v j . (5.126)
σ j
[
d
Demonstraţie. Fie d = U H ′
b =
j=1
]
d ′′ , y = V H x =
d ′′ = d(r+1 : m) şi y ′ = y(1:r), y ′′ = y(r+1 : n). Avem
‖b−Ax‖ 2 = ‖b−UΣV H x‖ 2 = ‖d−Σy‖ 2 =
27 Pentru sistemele de rang maximal vezi capitolul 3.
✸
[
y
′
y ′′ ]
unde d ′ = d(1:r),
√
‖d ′ −Σ 1 y ′ ‖ 2 2 +‖d′′ ‖ 2 2