Calculul valorilor si vectorilor proprii

488 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
s 11 t 22 ≠ s 22 t 11 . Continuând analogia cu problema valorilor proprii ordinare, fie
x 2 un vector propriu generalizat unitar al fascicolului (S,T) asociat valorii proprii
λ 2 = (s 22 ,t 22 ), i.e. un vector care satisface condiţiile
t 22 Sx 2 = s 22 Tx 2 , x 2 ≠ 0. (6.78)
De asemenea, fie w ∈ IC 2 un vector ortogonal cu x 2 şi matricea unitară de transformare
Z = [x 2 w]. Concret, vectorul propriu generalizat din (6.78) are expresia
[ ]
s22 t
x 2 = ρy, cu y = 12 −s 12 t 22
, (6.79)
s 11 t 22 −s 22 t 11
unde ρ ∈ IR este un factor scalar de normare, iar matricea unitară Z poate fi rotaţia
(complexă) care realizează (Z H y)(2) = 0.
Dacă Q ∈ IC 2×2 este o matrice unitară astfel încât
(Q H SZ)(2,1) = 0 sau (Q H TZ)(2,1) = 0, (6.80)
atunci obţinem (exerciţiu pentru cititor)
S ′ = Q H SZ =
[ ]
s22 ×
, T = Q
0 s H TZ =
11
[ ]
t22 ×
, (6.81)
0 t 11
unde cu × s-au notat elementele lipsite de semnificaţie. S-a realizat astfel permutarea
celor două valori proprii generalizate. Alegerea uneia din cele două alternative
de calcul a matricei Q se face din considerente de asigurare a unei stabilităţi
numerice maxime a algoritmului de ordonare. În [VI] se arată că decizia trebuie
luată în raport cu modulele elementelor s 22 şi t 22 . Dacă |s 22 | ≥ |t 22 |, atunci Q va fi
rotaţia care anulează al doilea element al primei coloane a matricei SZ, iar în caz
contrar rotaţia care anulează al doilea element al primei coloane a matricei TZ.
Pentru un fascicol de ordinul n, permutarea valorilor proprii adiacente (s kk ,t kk )
şi (s k+1,k+1 ,t k+1,k+1 ) ale formei Schur generalizate (S,T) ∈ IC n×n ×IC n×n se realizează
folosind transformarea unitară de echivalenţă (S ′ ,T ′ ) = (Q H SZ,Q H TZ) cu
Q = diag(I k−1 , ˜Q,I n−k−1 ), Z = diag(I k−1 , ˜Z,I n−k−1 ), (6.82)
unde transformarea definită de matricele de ordinul doi ˜Q şi ˜Z asigură permutarea
valorilor proprii ale perechii (S(k : k +1,k : k +1),T(k : k +1,k : k +1)).
Rezumând cele prezentate mai sus, rezultă următoarea schemă de calcul:
PG11c 1. Dacă s kk t k+1,k+1 ≠ s k+1,k+1 t kk [ atunci
]
sk+1,k+1 t
1. Se calculează vectorul y = k,k+1 −s k,k+1 t k+1,k+1
s kk t k+1,k+1 −s k+1,k+1 t kk
2. Se calculează rotaţia Z 12 astfel încât (Z12y)(2) H = 0
3. S ← Sdiag(I k−1 ,Z 12 ,I n−k−1 )
4. T ← T diag(I k−1 ,Z 12 ,I n−k−1 )
5. Z ← Zdiag(I k−1 ,Z 12 ,I n−k−1 )
6. Dacă |t k+1,k+1 | ≥ |s k+1,k+1 | atunci y = S(k : k +1,k)
altfel y = T(k : k +1,k)