Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.3. ALGORITMUL DVS 399
condiţia de ireductibilitate devine
f i ≠ 0, g i ≠ 0, i = 1 : n−1. (5.79)
În conformitate cu cele prezentate în capitolul precedent (vezi secţiunea 4.8),
un pas QR simetric cu deplasare implicită presupune transformările prezentate
mai jos. Prezentăm, în paralel, efectele acestor transformări la nivelul vectorilor f
şi g care definesc matricea bidiagonală J, evidenţiind astfel ideile unui pas DVS
Golub-Kahan.
1. Calculul deplasării
µ = t nn = |g n−1 | 2 +|f n | 2 (5.80)
sau, mai bine, al deplasării Wilkinson, care este valoarea proprie a matricei
[
|gn−2 |
T(n−1 : n,n−1 : n) =
2 +|f n−1 | 2 ¯f ] [ ]
n−1 g n−1 not α β
f n−1 ḡ n−1 |g n−1 | 2 +|f n | 2 = ¯β γ
(5.81)
cea mai apropiată de t nn . Concret, această deplasare are expresia
µ = γ +δ −sgn(δ) √ δ 2 +|β| 2 , δ = α−γ , (5.82)
2
şi se calculează economic şi fiabil cu relaţiile
δ = |g n−2| 2 +|f n−1 | 2 −|g n−1 | 2 −|f n | 2
, η = |f n−1 | 2 |g n−1 | 2 ,
2
µ = |g n−1 | 2 +|f n | 2 +
În cazul real, particularizările se obţin imediat.
η
δ +sgn(δ) √ δ 2 +η . (5.83)
2. Se calculează matricea unitară U 1 astfel încât prima sa coloană U 1 e 1 să coincidă
cu prima coloană a matricei de transformare care defineşte un pas QR simetric
cu deplasare explicită, i.e.
⎡
U 1 e 1 = ρ
⎢
⎣
t 11 −µ
t 21
0
.
0
⎤
⎡
= ρ
⎥ ⎢
⎦ ⎣
|f 1 | 2 −µ
f 1 ḡ 1
0
.
0
⎤
, (5.84)
⎥
⎦
unde ρ esteun factorscalarde normare. Introducândvectorul de deplasare implicită
aferent unui pas DVS
[ ] [ ]
w def t11 −µ |f1 |
= =
2 −µ
, (5.85)
t 21 f 1 ḡ 1