Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.13. PROBLEME 363
P 4.25 Demonstraţi că o matrice A ∈ IC n×n este normală dacă şi numai dacă partea sa
hermitică (vezi problema 4.23) comută cu partea sa antihermitică.
P 4.26 Arătaţi că o matrice A ∈ IC n×n este normală dacă şi numai dacă ‖Ax‖ 2 = ‖A H x‖ 2
pentru toţi x ∈ IC n .
P 4.27 Fie A ∈ IC n×n şi mulţimea de indici I = {i 1,i 2,...,i k }, cu i 1 < i 2 < ... < i k ,
i j ∈ 1 : n. Matricea B = A(I,I) se numeşte submatrice principală a lui A. a) Dacă
matricea A este hermitică (antihermitică), atunci şi B este hermitică (antihermitică).
b) Dacă matricea A este normală, fără a fi hermitică sau antihermitică, este B normală
P 4.28 Fie A ∈ IC n×n o matrice hermitică şi x ∈ IC n un vector nenul, arbitrar, fixat.
Notăm µ = xH Ax
câtul Rayleigh asociat lui x. Arătaţi că fiecare din intervalele (−∞,µ]
x H x
şi [µ,∞) conţin cel puţin o valoare proprie a matricei A.
P 4.29 Fie o matrice hermitică A ∈ IC n×n . Se numeşte p-secţiune a lui A o matrice
(hermitică) B = Q H AQ ∈ IC p×p , unde Q ∈ IC n×p este o matrice având coloanele ortogonale
(i.e. satisface condiţia Q H Q = I p). Arătaţi că dacă spectrele λ(A) = {λ 1,λ 2,...,λ n} şi
λ(B) = {µ 1,µ 2,...,µ p} sunt ordonate descrescător, atunci λ k ≥ µ k , k = 1 : p, precum şi
µ p−k+1 ≥ λ n−k+1 , k = 1 : p.
P 4.30 Fie A ∈ IC n×n o matrice hermitică. Arătaţi că A are o valoare proprie situată în
intervalul [a 11 −µ,a 11 +µ], unde µ = ‖A(1,2:n)‖ 2.
P 4.31 Daţi două exemple de matrice simetrice complexe, din care una să fie normală
şi cealalta nu. Reţineţi din această situaţie că există o diferenţă esenţială între matricele
simetrice reale şi matricele simetrice complexe 65 .
P 4.32 Fie A ∈ IC n×n . Arătaţi că pentru orice scalar ǫ > 0 există o normă matriceală
consistentă ‖·‖ (posibil dependentă de A şi ǫ) pe IC n×n astfel încât
unde ρ(A) este raza spectrală a matricei A.
‖A‖ ≤ ρ(A)+ǫ,
P 4.33 O matrice A ∈ IC n×n se numeşte convergentă dacă lim k→∞ A k = 0. Demonstraţi
că o matrice este convergentă dacă şi numai dacă ρ(A) < 1.
P 4.34 Să se determine localizări pentru valorile proprii ale matricelor
[ ] [ ]
3 −2 1 0 1 −2
A = 2 −4 0 , B = −1 4 1 , C = A+iB,
−1 1 5 1 1 3
utilizând teorema discurilor lui Gershgorin.
P 4.35 Utilizând teorema discurilor lui Gershgorin, stabiliţi o margine superioară pentru
raza spectrală a unei matrice. Comparaţi acest rezultat cu cel oferit de teorema 4.10.
P 4.36 a) Fie A ∈ IR n×n şi omatrice diagonală de scalare D = diag(δ 1,δ 2,...,δ n), δ i > 0,
i = 1 : n. Stabiliţi localizarea spectrului matricei A aplicând teorema discurilor Gershgorin
matricei scalate B = D −1 AD. Poate scalarea să conducă la o localizare mai bună
65 Pentru proprietăţile matricelor simetrice complexe se poate consulta [II].