Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.10. CONDIŢIONARE 349
Pentru p = 2, această caracterizarea condiţionării spectrului de valori proprii al
unei matrice simple este într-o conexiune strânsă cu cea introdusă în relaţia (4.333).
Într-adevăr, dacă V ∈ V A , atunci x i = Ve i
este un vector propriu la dreapta,
‖Ve i ‖
de normă euclidiană unitară, asociat valorii proprii λ i , iar y i = (eT i V −1 ) H
‖V −H este un
e i ‖
vector propriu unitar la stânga asociat aceleiaşi valori proprii. Avem
s λi = |y H i x i | = |eT i V −1 Ve i |
‖V −H e i ‖·‖Ve i ‖ = 1
‖Ve i ‖·‖V −H e i ‖ .
Ţinând seama de faptul că ‖Ve i ‖ ≤ ‖V‖ · ‖e i ‖ = ‖V‖ şi, analog, ‖V −H e i ‖ ≤
≤ ‖V −1 ‖, rezultă
s λi ≥ 1
κ 2 (V) , respectiv κ λ i
≤ κ 2 (V)
pentru toţi i = 1 : n. Cum V ∈ V A era arbitrară, aceasta înseamnă
Pe de altă parte, fie matricele X = [x 1
‖κ‖ ∞ = max (κ λ i
) ≤ κ (2)
i=1:n
Λ
(A). (4.345)
x 2 ··· x n ], având
⎡
drept
⎤
coloane
y H
vectori proprii la dreapta de normă euclidiană unitară şi Y = ⎢
⎣
2.
y H 1
y H n
⎥, cu vectorii
⎦
y i vectori proprii la stânga, de asemenea de normă euclidiană unitară. Atunci,
ţinând seama de faptul că y H i x j = 0 pentru toţi i ≠ j (v. exerciţiul 4.8), avem
YX = diag(s λ1 ,s λ2 ,...,s λn ). Prin urmare, matricea
V = XD = Xdiag( √ κ λ1 , √ κ λ2 ,..., √ κ λn )
aparţine mulţimii V A şi V −1 = D −1 X −1 = DY. Rezultă
n
κ(V) = ‖V‖·‖V −1 ‖ ≤ ‖V‖ F ‖V −1 ‖ F = ‖XD‖ F ‖DY‖ F = ‖D‖ 2 F = ∑
κ λi = ‖κ‖ 1 .
Reunind acest rezultat cu (4.345) putem scrie în concluzie
i=1
‖κ‖ ∞ ≤ κ (2)
Λ (A) ≤ ‖κ‖ 1. (4.346)
Având în vedere rolul determinant al structurii direcţiilor proprii asupra sensibilităţii
valorilor proprii, este interesant de văzut în ce condiţii κ Λ (A) este minim.
În acest sens avem următoarea propoziţie.
Propoziţia 4.4 Valoarea minimă a numărului de condiţionare (4.342) pentru
p = 2 este 1 şi este atinsă dacă matricea A este normală (în particular, hermitică
sau unitară, iar în cazul real simetrică sau ortogonală).