Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.5. STABILITATEA ALGORITMULUI DVS 415
matrice, prin
gap i
def
= min(σ i−1 −σ i ,σ i −σ i+1 ), gap I
def
şi corespondentele lor relative, prin
def |σ i −σ j |
relgap i = min ,
j∈1:p σ i +σ j
j≠i
= min|σ i −σ j | (5.111)
i∈I
j∉I
def |σ i −σ j |
relgap I = min , (5.112)
i∈I σ i +σ j
j∉I
unde p = min(m,n).
Condiţionarea subspaţiului U I , i.e. variaţia unghiulară a acestuia raportată
la nivelul perturbaţiilor în matricea iniţială, se poate aprecia prin numărul de
condiţionare
def
κ UI = 1
(5.113)
gap I
şi, în particular, condiţionarea unui vector singular prin numărul
κ ui
def
= 1
gap i
. (5.114)
Pentru detalii recomandăm consultarea referinţelor bibliografice [IV], [VI], [VIII].
5.5 Stabilitatea numerică a algoritmului DVS
Analiza erorilor introduse de algoritmul DVS a condus la aprecierea că acesta
reprezintă un mijloc foarte fiabil de calcul al valorilor singulare şi al vectorilor
singulari. Altfel spus, algoritmul DVS este un algoritm numeric stabil [VI], [XV],
i.e. se poate arăta că tripletul (Û, ˆΣ, ˆV), care defineşte DVS calculată, este o DVS
exactă pentru o matrice foarte ”apropiată” de matricea dată. În termeni formali,
[ ˆΣ1
dacă A ∈ IC m×n şi, prin urmare, Û ∈ IC m×m , ˆV ∈ IC n×n , ˆΣ = sau
0
ˆΣ =
= [ ˆΣ1 0 ] , cu ˆΣ 1 = {ˆσ 1 ,ˆσ 2 ,...,ˆσ p }, p = min(m,n), atunci există matricele
unitare Ũ ∈ ICm×m , Ṽ ∈ ICn×n , astfel încât, notând
∆U def
def
= Ũ −Û, ∆A = ŨˆΣṼ H −A, ∆V def
= Ũ − ˆV, (5.115)
sunt satisfăcute inegalităţile
‖∆U‖ ≤ p(m,n)ε M , ‖∆A‖ ≤ p(m,n)‖A‖ε M , ‖∆V‖ ≤ p(m,n)ε M ,
(5.116)
unde, ca şi până acum, ‖ · ‖ def
= ‖ · ‖ 2 este norma spectrală, p(m,n) este o notaţie
generică pentru o funcţie cu ”o creştere modestă” 23 iar ε M este epsilon maşină
definind precizia de reprezentare a formatului virgulă mobilă utilizat.
23 Aşa cum s-a precizat şi în capitolul 4, practic pentru toţi algoritmii prezentaţi în acest
capitol, p(m,n) sau p(n) este o funcţie polinomială de un grad ”modest” (1, 2 sau, foarte rar,
3) de parametri ce definesc dimensiunea problemei. În [XV] se afirmă că o apreciere de genul
p(n) < 10n sau p(m,n) < 10max(m,n) este adevărată în majoritatea situaţiilor practice pentru
care se foloseşte formula de evaluare ”funcţie cu o creştere modestă”.
]