Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 247
Într-adevăr, din (4.116), avem
˜Q k+1 R k = (H −µ k I n )˜Q k . (4.127)
Egalitatea primelor coloane ale matricelor din (4.121) conduce la
˜Q k+1 r (k)
1 = (H −µ k I n )˜q (k)
1 , (4.128)
unde ˜q (k)
1 = ˜Q k e 1 este prima coloană a matricei ˜Qk şi r (k)
1 = R k e 1 este prima
coloană a matricei R k . Întrucât R k este superior triunghiulară, avem r (k)
1 = r (k)
11 e 1
şi, deci, (4.128) poate fi scrisă în forma echivalentă
˜q (k+1)
1 = 1
r (k)
11
(H −µ k I n )˜q (k)
1 , (4.129)
care exprimă recurenţa ce defineşte metoda puterii pentru calculul unui vector propriu
al matricei H, utilizând un parametru scalar de deplasare µ k . Conform celor
arătate în secţiunea 4.3, dacă µ k evoluează astfel încât matricea H − µ k I n are o
valoare proprie dominantă atunci prima coloană a matricei unitare de transformare
˜Q k converge către un vector propriu asociat acestei valori proprii. În conformitate
cuproceduradedeflaţie(vezisecţiunea4.2)primacoloanăamatricei ˜Q H k H ˜Q k = H k
converge către prima coloană a formei Schur a lui A, i.e. elementul subdiagonal din
prima coloană a lui H se anulează asimptotic. Viteza de convergenţă depinde de
evoluţia modulului raportului primelor două valori proprii (enumerate în ordinea
descrescătoare a modulelor) ale matricei H −µ k I n .
Având în vedere faptul că cele două procese de deflaţie au loc simultan şi că,
odată luată decizia de neglijare a elementelor subdiagonale suficient de mici, dimensiunea
problemei de calcul scade, o experienţă numerică destul de consistentă
a condus la evaluarea că, în mod obişnuit, pentru calculul unei valori proprii a unei
matrice Hessenberg sunt suficiente, în medie, 1.5-2 iteraţii QR. Această viteză de
convergenţăexcepţionalăsedatoreazăfaptului, constatatexperimental, căodatăcu
elementele subdiagonale din ultima linie şi prima coloană, toate celelalte elemente
subdiagonale au tendinţa de anulare asimptotică.
Pe de altă parte, aşa cum s-a precizat, şirul QR nu converge întotdeauna, existând
situaţii în care elementele subdiagonale, inclusiv cel de pe poziţia (n,n−1),
nu se anulează asimptotic. În practica numerică astfel de situaţii sunt rare, ”patologice”,
şi se pot lua măsuri care să le facă extrem de rare. Prezentăm în continuare
un astfel de caz.
Exemplul 4.4 Se consideră matricea H ∈ IR 4×4 în formă superior Hessenberg
⎡ ⎤
0 0 0 1
H = ⎢ 1 0 0 0
⎥
⎣ 0 1 0 0 ⎦ ,
0 0 1 0
având valorile proprii (exacte), ordonate arbitrar,
λ 1 = −1, λ 2,3 = ±i, λ 4 = 1.