Calculul valorilor si vectorilor proprii

404 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
TZD
% Tratarea zerourilor diagonale.
1. Pentru j = i+1 : n
1. Se calculează rotaţia ”modificată” P ij astfel încât
(P H
ij
2. J ← P H
ij
J)(i,j) = 0.
J % Se anulează elementul (i,j) şi, pentru j < n,
este alterat zeroul din poziţia (i,j +1).
3. Dacă se doreşte acumularea transformărilor, atunci
U ← UP ij .
Exemplificăm modul de acţiune al procedurii de mai sus pentru cazul dimensional
cu n = 4 şi cu zeroul diagonal în poziţia (2,2).
⎡
J ← P 23 J = ⎢
⎣
J =
× × 0 0
0 0 ∅ +
0 0 × ×
0 0 0 ×
⎡
⎢
⎣
× × 0 0
0 0 × 0
0 0 × ×
0 0 0 ×
⎤
⎤
⎥
⎦ ,
⎡
⎥
⎦ , J ← P 24J =
⎢
⎣
× × 0 0
0 0 0 ∅
0 0 × ×
0 0 0 ×
În vederea scrierii mai concise a algoritmului DVS vom introduce un algoritm
auxiliar de tratare a zerourilor diagonale, care implementează schema de calcul
TZD . Pentru scrierea lui avem nevoie de o procedură de calcul a unei rotaţii
”modificate”. Concret, rotaţia (complexă) ”modificată” pe care o vom utiliza este
o matrice unitară de ordinul 2 cu structura cunoscută
[ ] c s
P = , cu c ∈ IR, s ∈ IC, c
−¯s c
2 +|s| 2 = 1, (5.93)
care, pentru un vector z ∈ IC 2 dat asigură
⎤
⎥
⎦ .
(P H z)(1) = 0. (5.94)
Făcândapellarezultatelestabilite încapitolul3, nuestegreudevăzutcărelaţiilede
calculalescalarilorcşis, careasigurăsatisfacereacondiţiei(5.94),sunturmătoarele.
⎧
⎧
1, dacă z ⎪⎨ 1 = 0,
0, dacă z ⎪⎨
1 = 0,
c =
0, dacă z 1 ≠ 0, z 2 = 0,
s =
1, dacă z 1 ≠ 0, z 2 = 0,
⎪⎩ |z 2 |
r , dacă z z
1 ≠ 0, z 2 ≠ 0,
⎪⎩ 1¯z 2
|z 2 |r , dacă z 1 ≠ 0, z 2 ≠ 0,
r = √ |z 1 | 2 +|z 2 | 2 , (P H z)(2) = rz 2
|z 2 | .
(5.95)
Calculul elementelor definitorii de mai sus va fi însoţit de calculul z ← P H z astfel
încât sintaxa propusă pentru această procedură este
[y,c,s] = Gcm(z),