Calculul valorilor si vectorilor proprii

290 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Complexitatea unei ordonări este dictată esenţial de natura permutării. Cazurile
limită sunt permutarea identică, pentru care nu se face nici o operaţie aritmetică, şi
inversiunea, pentru care se efectuează Cn 2 = n(n+1)/2 apelări ale procedurii P11c
care conduc la o complexitate O(n 3 ).
De multe ori este mai comod ca în locul permutării π să utilizăm permutarea
inversă σ = π −1 = {j 1 ,j 2 ,...,j n }. În acest caz, algoritmul suprascrie matricea S
cu matricea unitar asemenea S ′ = ˜Q H S ˜Q care are s ′ kk = s j k ,j k
. O variantă a unui
astfel de algoritm de ordonare arată astfel.
FSC ORD −1 1. Pentru k = 1 : n−1
1. Dacă k ≠ j k atunci
1. Pentru i = (j k −1) : −1 : k
1. [S,Q] = P11c(S,Q,i)
2. Pentru i = k+1 : n
1. Dacă j i < j k atunci j i = j i +1.
După execuţia acestui algoritm coloanele 1 : k ale matricei de transformare actualizate,
i.e. Q(:,1:k), formează o bază ortonormală a subspaţiului A-invariant V k
asociatsetuluidevaloripropriiΛ k = {λ i = s ii | i ∈ {j 1 ,j 2 ,...,j k }}(înnumerotarea
iniţială). Observaţiile de mai sus privitoare la complexitate rămân valabile.
Algoritmul de mai sus realizează o ordonare totală a perechilor diagonale. Dacă
se urmăreşteexclusiv construcţia unei baze unitare pentru un subspaţiu A-invariant
k-dimensional (k < n), este suficientă o ordonare parţială constând în aducerea, pe
căile cele mai ”scurte”, a valorilor proprii vizate în primele k poziţii diagonale. O
variantă posibilă pentru rezolvarea acestei probleme este următoarea. Presupunem
că dorim construcţia unei baze ortonormale a subspaţiului A-invariant asociat valorilor
proprii s i1i 1
, s i2i 2
, ..., s ik i k
. Fără a reduce generalitatea, putem considera că
i 1 < i 2 < ... < i k . Aducerea celor k elemente diagonale ale matricei S în primele k
poziţii diagonale se face cu următorul algoritm simplu.
FSC ORD p 1. Pentru j = 1 : k−1
1. Dacă i j > j atunci
1. Pentru l = (i j −1) : −1 : j
1. [S,Q] = P11c(S,Q,l)
Încheiem aici comentariile la algoritmul 4.16şi consideraţiile privitoarela ordonarea
formeiSchurcomplexecumenţiuneacăacesteaspectevorfiîntâlniteşi laordonarea
formei Schur reale.
✸
4.6.2 Ordonarea formei Schur reale
Încazulrealvomconsiderapartiţiablocdictatădedimensiunilel k ×l k cul k ∈ {1,2},
k = 1 : p, ale blocurilor diagonale ale formei Schur reale S = Q T AQ a matricei
A ∈ IR n×n ⎡ ⎤
S 11 S 12 ··· S 1p
0 S 22 ··· S 1p
S = ⎢
⎣
.
. . ..
⎥
. ⎦ . (4.199)
0 0 ··· S pp