Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 379
În sfârşit, notând U def
= diag(U 1 ,U 2 ), V def
= diag(V 1 ,V 2 ) obţinem următoarea
structură a matricei W
⎡
W = U H QV = ⎣ C X Y ⎤
−S C 0 ⎦,
0 0 I k−l
unde [X Y ] def
= U1 HQ 12V 2 .
Rezultatul urmărit se obţine imediat din faptul că matricea W este unitară, din
egalitatea W H W = I n rezultând X = S şi Y = 0.
În cazulk > l = n−k se începecu descompunereavalorilorsingulareale blocului
Q 22 , după care cursul demonstraţiei este similar cu cel de mai sus.
În cazul real toate transformările unitare utilizate pot fi luate ortogonale, cursul
demonstraţiei fiind identic.
✸
5.1.4 Descompunerea valorilor singulare generalizate
O generalizare posibilă a descompunerii valorilor singulare este diagonalizarea simultană
a două matrice sau, echivalent, diagonalizarea unui fascicol matriceal, prin
transformări de echivalenţă. Condiţiile în care acest demers este posibil sunt enunţate
în teorema de mai jos.
Teorema 5.4 Descompunerea valorilor singulare generalizate (DVSG). Fie matricele
A ∈ IC m×n cu m ≥ n şi B ∈ IC p×n 9 astfel încât KerA∩KerB = {0}. Atunci
există matricele unitare U ∈ IC m×m şi V ∈ IC p×p precum şi matricea nesingulară
W ∈ IC n×n astfel încât
⎧ [ ]
[ ] ⎪⎨ S
U H C pentru p ≥ n
AW = , V H BW = 0
(5.33)
0 ⎪⎩ [ ] 0 S pentru p < n
unde
C = diag(c 1 ,c 2 ,...,c n ) ∈ IR n×n cu 1 ≥ c 1 ≥ c 2 ≥ ... ≥ c p ≥ 0,
⎧
⎪⎨
diag(s 1 ,s 2 ,...,s n ) ∈ IR n×n cu 0 ≤ s 1 ≤ s 2 ≤ ... ≤ s n ≤ 1, pt. p ≥ n
S =
⎪⎩
diag(s n−p+1 ,s n−p+2 ,...,s n ) ∈ IR p×p
cu 0 = s 1 = s 2 = ... = s n−p ≤ s n−p+1 ≤ ... ≤ s n ≤ 1, pt. p < n
(5.34)
cu c 2 i + s2 i = 1, i = 1:n 10 . Perechile (c i ,s i ), i = 1:n definesc valorile singulare
generalizate ale perechii (A,B), mai exact perechile (c i ,s i ) cu s i = 0 definesc
9 Teorema este enunţată pentru cazul a două matrice cu acelaşi număr de coloane. Se poate
da şi o formulare pentru două matrice A şi B cu acelaşi număr de linii, formulare care se poate
obţine aplicând enunţul de mai sus matricelor A H şi B H . Lăsăm detaliile în sarcina cititorului
interesat.
10 În cazul p < n avem c 1 = c 2 = ... = c n−p = 1 şi, de aceea, am introdus în (5.34), prin
convenţie şi pentru comoditatea notaţiilor, numerele s 1 = s 2 = ... = s n−p = 0. De asemenea,
în aceeaşi situaţie, vom conveni să extindem termenul de ”structură diagonală” pentru matricea
[ 0 S] (în unele lucrări [VI], în cazul p < n, matricea V H BW are structura [S 0] cu S diagonală
dar ”preţul” plătit este pierderea ordonării elementelor diagonale ale matricelor C şi S).