Calculul valorilor si vectorilor proprii

254 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
D. Un pas QR cu deplasare implicită
pentru matrice complexe
Teorema 4.15 reprezintă fundamentul teoretic pentru variantele cu deplasare implicită
ale algoritmului QR. Ideea centrală a acestora constă în asigurarea condiţiei
ca prima coloană a matricei de transformare cumulate aferente unui pas QR să
coincidă cu prima coloană a matricei de transformare de la varianta cu deplasare
explicită corespunzătoare, simultan cu minimizarea numărului de operaţii aritmetice,
prin exploatarea eficientă a structurilor de zerouri ale matricelor implicate.
Concret, pentru implementarea unui pas simplu QR cu deplasare implicită se
procedează în felul următor:
1. Se calculează prima coloană q (k)
1 a matricei Q k din (4.110) ce defineşte
transformarea unitară aferentă unui pas simplu QR cu deplasare
explicită.
2. Se determină o matrice unitară U 1 astfel încât prima sa coloană să
fie q (k)
1 , i.e. U 1e 1 = q (k)
1 .
3. Se calculează matricea B = U H 1 H kU 1 (a cărei structură nu mai
este superior Hessenberg).
4. Se reface structura superior Hessenberg, aplicând algoritmul HQc
matricei B: [H k+1 , ˜Q k+1 ] = HQc(B, ˜Q k ,opt). Transformările implicate
de această reducere nu afectează prima coloană a matricei
de transformare cumulate.
AceastăschemădecalculdefineşteunpasQRcu deplasare implicită. Dacămatricea
H k este ireductibilă, atunci rezultatul H k+1 al aplicării schemei de calcul de mai
sus va fi esenţial acelaşi, în sensul observaţiei 4.6, cu cel dat de un pas QR cu
deplasare explicită. Pentru ca procedura cu deplasare implicită sa nu fie inferioară,
din punctul de vedere al eficienţei, celei cu deplasare explicită, trebuie exploatate
corespunzător avantajele structurale date de forma Hessenberg a matricelor iniţială
şi finală. Detaliile unei implementări eficiente sunt prezentate în continuare.
not
Fie, pentru simplificarea notaţiilor, H k = H matricea curentă a şirului QR,
not
presupusă ireductibilă, H k+1 = H ′ not
matricea succesor, µ k = µ etc. (i.e. renunţăm
la indicele k). Aceste notaţii se justifică şi prin faptul că atât matricea H ′ cât şi
matricea intermediară B pot suprascrie matricea H, i.e. toate calculele aferente
unui pas simplu QR cu deplasare implicită se pot desfăşura pe loc, în tabloul H.
Urmând etapele din schema de calcul de mai sus avem următoarele particularităţi.
1. Presupunem că µ = h nn ∉ λ(H), i.e. matricea H − µI n este nesingulară.
PrinurmarematriceasuperiortriunghiularăR k
not
= R din (4.110)este, de asemenea,