Calculul valorilor si vectorilor proprii

380 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
valorile singulare generalizate infinite, iar
σ i = c i
s i
∈ IR, s i ≠ 0, (5.35)
sunt valorile singulare generalizate finite. Coloanele w i ale matricei nesingulare W
se numesc vectorisingularigeneralizaţi ai perechii (A,B) asociaţi valorilor singulare
generalizate σ i .
În cazul real, matricele de transformare pot fi alese reale, i.e. W reală nesingulară,
iar U şi V ortogonale.
Demonstraţie. Este uşor de constatat că ipoteza KerA∩KerB = {0} este echivalentă
cu faptul că matricea
[ ]
F def A
= ∈ IC (m+p)×n (5.36)
B
este monică (i.e. are coloanele liniar independente). Fie F = QR factorizarea QR
a matricei F, unde Q ∈ IC (m+p)×n este o matrice având coloanele ortogonale (i.e.
Q H Q = I n ), iar R ∈ IC n×n este superior triunghiulară şi, în virtutea monicităţii lui
F, nesingulară. De asemenea, fie următoarea partiţie a matricei Q
[ ]
Q1
Q = , Q
Q 1 ∈ IC m×n , Q 2 ∈ IC p×n .
2
În continuare vom proceda similar cu demonstraţia teoremei 5.3 privitoare [ la]
descompunerea
CS. Fie Q 1 = U ˜CZ H o DVS a matricei Q 1 unde ˜C C
= cu
0
C = diag(c 1 ,c 2 ,...,c n ) ∈ IR n×n şi, cu argumentele din demonstraţia teoremei citate,
1 ≥ c 1 ≥ c 2 ≥ ... ≥ c n ≥ 0. Considerăm acum matricea
[ ] [ ]
U ˜Q =
H 0 ˜C
QZ =
0 I p Q 2 Z
care are, şi ea, coloanele ortogonale, i.e. ˜QH ˜Q = In , relaţie din care rezultă
Z H Q H 2 Q 2 Z = I n −C 2 def
= S 2 , (5.37)
unde S 2 = diag(s 2 1 ,s2 2 ,...,s2 n ) cu s2 i = 1 − c 2 i , i = 1 : n. Alegând s i = √ 1−c 2 i
rezultă S = diag(s 1 ,s 2 ,...,s n ) cu 0 ≤ s 1 ≤ s 2 ≤ ... ≤ s p ≤ 1. În continuare
distingem două situaţii:
a) Matricea S este nesingulară (condiţie posibilă numai dacă p ≥ n). În acest
caz, din (5.37) avem S −1 Z H Q H 2 Q 2ZS −1 = I n , i.e. matricea V 1 = Q 2 ZS −1 ∈ IC p×n
are coloanele ortogonale şi poate fi completată până la o matrice unitară, i.e. există
matricea V 2 ∈ IC p×(p−n) astfel încât matricea V = [V 1 V 2 ] ∈ IC p×p este unitară.
Rezultă
˜S def
= V H Q 2 Z = V H V 1 S =
[ S
0
]
,