Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.9. METODE ALTERNATIVE 335
BISECT k
1. [α, β] = Int(f,g)
2. C^at timp β −α > tol
1. γ = α+β
2
2. ν = ν(f,g,γ)
3. Dacă ν < k atunci α ← γ
altfel β ← γ
3. λ k = γ
Este uşor de verificat faptul că această procedură evaluează corect, în limitele fixate
de toleranţa tol, valoarea proprie λ k din (4.314).
Pentru localizarea şi calculul unui grup contiguu de valori proprii ale matricei
T din secvenţa (4.314), fie acesta λ k1 ,λ k1+1,...,λ k2 , k 2 ≥ k 1 , se aplică, în esenţă,
de k 2 − k 1 + 1 ori procedura de mai sus, cu unele amendamente care conduc la
obţinerea unui spor de eficienţă. Aceste amendamente urmăresc exploatarea intensivă
a informaţiei obţinute în procesul iterativ de localizare a valorii proprii curente
pentru reducerea intervalelor de separare a valorilor proprii care se calculează ulterior.
Concret,vomrealizaoactualizare,lafiecareiteraţie, aextremităţilorinferioare
ale intervalelor de localizare a valorilor proprii λ i , i = k 1 : k 2 . Pentru aceasta observăm
că valoarea ν calculată la instrucţiunea 2.2 a procedurii de mai sus, permite
aprecierea că, la iteraţia curentă de evaluare a valorii proprii λ k , un număr de k−ν
valori proprii se găsesc în intervalul [γ,λ k ]. Prin urmare, dacă ν < k 1 atunci în
intervalul [γ,λ k ] se găsesc valorile proprii λ i , i = k 1 : k−1, iar dacă ν ≥ k 1 atunci
în acest interval se află valorile proprii λ i , i = ν+1 : k−1. Utilizarea informaţiilor
de mai sus presupune:
– calculul valorilor proprii în ordine inversă, i.e. în ordinea k = k 2 : −1 : k 1 ;
– introducerea unui vector σ ∈ IR k2−k1+1 , al extremităţilor stângi ale intervalelor
de localizare, ale cărui elemente vor fi actualizate, la fiecare iteraţie, pe baza
observaţiilor de mai sus.
Utilizând, pentru elementele vectorului σ, o indexare conformă cu cea a valorilor
proprii (i.e. σ k , k = k 1 : k 2 , este extremitatea stângă a intervalului de localizare a
valorii proprii λ k ), la o iteraţie curentă de calcul al lui λ k , actualizarea constă în
atribuirile
σ i = γ pentru i =
{
k1 : k −1, dacă ν < k 1
ν +1 : k −1, dacă ν ≥ k 1 .
(4.315)
Prezentăm direct algoritmul care implementează ideile de mai sus.
Algoritmul 4.28 (BISECT – Calculul unui grup de valori proprii
prin metoda bisecţiei) (Daţi vectorii f ∈ IR n şi g ∈ IR n−1 care definesc
matricea tridiagonală, simetrică, ireductibilă T ∈ IR n×n precum
şi întregii k 1 < k 2 ≤ n şi toleranţa tol, algoritmul calculează valorile
proprii λ k , k ∈ k 1 : k 2 .)
1. [α, β] = Int(f,g)
2. % Iniţializarea vectorului extremităţilor stângi ale intervalelor de
separare şi a extremităţii din dreapta pentru λ k2 .