Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.8. PROBLEME 443
are o soluţie unică x ∗ α. b) Elaboraţi un algoritm de calcul al soluţiei x ∗ α. c) Ce se întâmplă
când α ց 0 d) Arătaţi că sistemul
este satisfăcut de y not
= x ∗ α −x ∗ β.
(A T A+αI n)(A T A+βI n)y = (β −α)A T b
P 5.28 Arătaţi că o matrice pătrată are (cel puţin) o valoare singulară nulă dacă şi numai
dacă are (cel puţin) o valoare proprie nulă.
P 5.29 Fie matricele pătrate A,B ∈ IC n×n . Se ştie (vezi exerciţiul 4.5 din cap.4) că
matricele AB şi BA au aceleaşi spectre de valori proprii. Este adevărat acest lucru şi
pentru mulţimile lor de valori singulare
P 5.30 Fie matricele A,B ∈ IC m×n , p = min(m,n) şi σ(A), σ(B) mulţimile (nu uitaţi,
ordonate descrescător!) ale valorilor singulare ale matricei A, respectiv B.
a) Demonstraţi şi interpretaţi inegalitatea
σ 1(A+B) ≤ σ 1(A)+σ 1(B).
Este adevărată inegalitatea σ i(A+B) ≤ σ i(A)+σ i(B) şi pentru i ∈ 2 : p Dacă răspunsul
dv. este afirmativ, atunci prezentaţi o demonstraţie, iar dacă este negativ prezentaţi un
contraexemplu.
b) Demonstraţi inegalitatea
unde i,j ∈ 1 : p, cu i+j ≤ p+1.
σ i+j−1(A+B) ≤ σ i(A)+σ j(B),
P 5.31 Fie matricele A,B ∈ IC m×n , p = min(m,n) şi σ(A), σ(B) mulţimile ale valorilor
singulare ale matricei A, respectiv B.
a) Demonstraţi şi interpretaţi inegalitatea
σ 1(AB H ) ≤ σ 1(A)σ 1(B).
Este adevărată inegalitatea σ i(AB H ) ≤ σ i(A)σ i(B) şi pentru i ∈ 2 : p Dacă răspunsul
dv. este afirmativ, atunci prezentaţi o demonstraţie, iar dacă este negativ prezentaţi un
contraexemplu.
b) Demonstraţi inegalitatea
unde i,j ∈ 1 : p, cu i+j ≤ p+1.
σ i+j−1(AB H ) ≤ σ i(A)σ j(B),
P 5.32 Fie matricea A ∈ IC n×n şi matricea B = AP ∈ IC n×n unde P este o matrice
de permutare. Presupunem că P a fost aleasă astfel încât matricea B să aibă coloanele
ordonate în sensul descrescător al normelor lor euclidiene, i.e. dacă κ j = ‖B(:,j)‖ 2, atunci
κ 1 ≥ κ 2 ≥ ... ≥ κ n. Demonstraţi că
n∑ n∑
σj 2 ≤ κ 2 j, k = 1 : n,
j=k
j=k
unde σ i sunt valorile singulare ale matricei A. Formulaţi un rezultat analog pentru linii.
Trageţi, printre alte concluzii, pe aceea că o matrice care are o coloană (sau o linie) de
normă euclidiană ”mică” are, în mod necesar, şi o valoare singulară ”mică”.