Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 327
tridiagonale din şirul QR simetric vom urma ideile folosite la algoritmul QR nesimetric.
Astfel, condiţia de anulare a elementelor extradiagonale, i.e. a elementelor
vectorului g, este
|g k | ≤ tol(|f k |+|f k+1 |), (4.291)
unde scalarul realtol defineşte nivelul de toleranţă şi are, uzual, un ordin de mărime
comparabil cu eroarea de reprezentare din formatul virgulă mobilă al maşinii ţintă.
De asemenea, pentru gestionarea evoluţiei structurale, la fiecare iteraţie, după anularea
elementelor vectorului g care satisfac condiţia (4.291), se va determina cel mai
mic întreg p şi cel mai mare întreg q astfel încât matricea tridiagonală curentă din
şirul QR simetric să aibă structura
⎡
T = ⎣ T ⎤
11 0 0
0 T 22 0 ⎦, (4.292)
0 0 T 33
cu T 11 ∈ IR p×p , T 22 ∈ IR (n−p−q)×(n−p−q) tridiagonală ireductibilă şi T 33 ∈ IR q×q
diagonală, i.e. g(p+1 : n−q) aretoate elementele nenule, iar g(n−q+1: n−1) = 0.
În acest fel, iteraţia QR se va aplica de fapt blocului T 22
echivalentă cu aplicarea transformării (4.287) cu
T 22 ← T ′ 22 = QT 22 T 22Q 22 , (4.293)
Q = diag(I p ,Q 22 ,I q ). (4.294)
AlgoritmulQRsimetricsetermină înmomentul încareseanuleazătoateelementele
vectoruluig,i.e. q devinen−1. Cuprecizăriledemaisus,putemprezentaalgoritmul
QR simetric.
Algoritmul 4.27 (QRsim– Algoritmul QR simetric cu deplasări
Wilkinson implicite) (Date o matrice simetrică A ∈ IR n×n , o matrice
ortogonală Q ∈ IR n×n şi un nivel de toleranţă tol pentru anularea elementelor
extradiagonale, algoritmul calculează vectorul f ∈ IR n al valorilor
proprii ale matricei A şi, opţional, actualizează matricea de transformare
ortogonală Q. Opţiunea se exprimă prin intermediul variabilei
logice opt care poate lua valorile ’da’ sau ’nu’. Dacă nu se doreşte
acumularea transformărilor, matricea Q se returnează nemodificată.)
1. % Reducerea la forma tridiagonală
1. [f,g,Q] =TQ(A,Q)
2. % Faza iterativă
1. p = 0, q = 0
2. C^at timp q < n
1. % Anularea elementelor neglijabile
Pentru i = p+1 : n−q −1
1. Dacă |g i | ≤ tol(|f i |+|f i+1 | atunci g i = 0