Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.2. FORMA SCHUR 231
unde
S 11 ∈ IR 2×2 , cu λ(S 11 ) = {λ 1 ,λ 2 }. (4.79)
Demonstraţie. Prima parte a lemei se demonstreazăla fel cu lema 4.2 considerând
o matrice ortogonală Q a cărei primă coloană este un vector propriu de normă
euclidiană unitarăasociat valoriipropriiλ. Pentruadouaparte a lemei considerăm
vectorii proprii x 1,2 = v 1 ± iv 2 asociaţi valorilor proprii complex conjugate λ 1,2 şi
Y = [y 1 y 2 ] ∈ IR n×2 o bază ortogonală a subspaţiului liniar A-invariant S = ImV,
unde V = [v 1 v 2 ] ∈ IR n×2 şi Z ∈ IR n×(n−2) o bază ortogonală a complementului
ortogonal T = S ⊥ a lui S în IR n 12 . Evident, matricea Q = [Y Z] este ortogonală.
Pe de altă parte, întrucât vectorii v 1 şi v 2 sunt liniar independenţi (vezi propoziţia
4.1), există o matrice nesingulară P[ ∈ IR 2×2 astfel ] încât V = YP. În consecinţă,
α −β
din (4.14) avem AV = VB cu B = . Rezultă
β α
unde
şi, deci,
A 1 = Q T AQ =
AY = AVP −1 = VBP −1 = YS 11 ,
[
α −β
S 11 = P
β α
[ ]
Y
T
Z T A [ Y Z ] [
Y
=
T AY Y T AZ
0 Z T AZ
]
P −1 . (4.80)
]
=
[ ]
S11 S 12
,
0 S 22
(4.81)
punându-se în evidenţă blocul diagonal de ordinul 2 real S 11 având valorile proprii
complexe λ 1,2 .
✸
Calculul matricei ortogonale de asemănare Q din lema de mai sus este condiţionat
esenţial de cunoaşterea unui vector propriu (real) x asociat valorii proprii reale
evidenţiate respectiv a parţii reale si a celei imaginare a unui vector propriu asociat
unei valori proprii complexe. Altfel spus, posibilitatea deflaţiei este condiţionată de
cunoaşterea subspaţiului A-invariant corespunzător.
Procedând ca în demonstraţia teoremei 4.12, i.e. efectuând deflaţia matricei
A pentru valorile proprii reale, respectiv pentru perechile de valori proprii complexe,
prin aplicarea sistematică a lemei de mai sus, până la epuizarea întregului
spectru şi cumulând transformările ortogonale parţiale, obţinem următorul rezultat
important.
Teorema 4.13 (Forma Schurreală) Oricare ar fi matricea reală A ∈ IR n×n , există
o matrice ortogonală Q ∈ IR n×n astfel încât
⎡ ⎤
S 11 S 12 ··· S 1p
Q T AQ = S = ⎢ 0 S 22 ··· S 2p
⎥
⎣ ··· ··· ··· ··· ⎦ , (4.82)
0 0 ··· S pp
12 Pentru construcţia acestor baze vezi observaţia 4.3.