Calculul valorilor si vectorilor proprii

394 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
bază a algoritmului DVS constă în faptul că matricele A k , k = 1,2,... ale şirului
DVS auproprietateacămatriceleB k = A H k A k (în cazulrealB k = A T k A k) formează
şirul QR hermitic (simetric) corespunzător, asociat matricei B. De aceea, se spune
că algoritmul DVS este o variantă ”mascată” a algoritmului QR simetric.
Algoritmul DVS are două etape.
1. Prima etapă constă în reducerea matricei A, prin transformări unitare (ortogonale)
de echivalenţă, la o formă superior bidiagonală J astfel încât matricea
tridiagonală T = J H J să coincidă cu cea produsă de prima etapă a algoritmului
QR simetric aplicat lui B.
2. Etapa a doua constă în reducerea iterativă a matricei J la forma diagonală
prin anularea asimptotică a elementelor supradiagonale prin transformări unitare
(ortogonale) bilaterale ce corespund paşilor algoritmului QR simetric cu deplasare
implicită aplicaţi lui B.
Vom prezenta în continuare detaliile acestui algoritm.
5.3.1 Reducerea la forma bidiagonală
Baza teoretică a primei etape a algoritmului DVS este dată de următorul rezultat.
Teorema 5.8 Fie o matrice A ∈ IC m×n . Există matricele unitare U ∈ IC m×m şi
V ∈ IC n×n astfel încât matricea
J = U H AV ∈ IC m×n (5.70)
este superior bidiagonală, i.e. J(i,j) = 0, ∀i > j şi ∀j > i+1.
În cazul real, matricele U şi V pot fi reale (i.e. ortogonale) şi, prin urmare, şi
matricea bidiagonală J este, în acest caz, reală.
Demonstraţie. Vom da o demonstraţie constructivă, arătând cum se calculează
efectiv matricele unitare U şi V din (5.70). Pentru fixarea ideilor, presupunem că
m ≥ n 19 , în care caz procedura are p = min(m−1,n) paşi.
Pasul 1 ◦ . În primul rând, există reflectorul (complex) U 1, de ordinul m, astfel
încât (U1 HA)(2 : m,1) = 0. După aplicarea reflectorului U 1, există reflectorul
V 2 , de ordinul n şi indice 2 (i.e. având structura V 2 = diag(1,Ṽ2)) astfel încât
((U1 HA)V 2)(1,3:n) = 0. Datorită structurii menţionate a reflectorului V 2 , postmultiplicarea
cu acesta nu alterează zerourile create în prima coloană. Prin urmare,
def
matricea A ← A 1 = U1 HAV 2 este superior bidiagonală în prima coloană şi prima
linie.
Pasul k ◦ def
. Presupunem că, după primii k − 1 paşi, matricea A ← A k−1 =
def
= Uk−1 H ...UH 1 AV 2...V k este superior bidiagonală în primele k − 1 coloane şi
primele k − 1 linii. Acum, există reflectorul (complex) U k = diag(I k−1 ,Ũk) astfel
încât (Uk HA k−1)(k +1 : m,k) = 0. După aplicarea reflectorului U k , ne folosim
de existenţa reflectorului V k+1 pentru anularea elementelor (k,k+2 : n), i.e. astfel
încât ((Uk HA k−1)V k+1 )(k,k+2 : n) = 0. Este uşor de văzut că structura reflectorilor
19 Dacă m < n se poate calcula DVS a matricei G = A H . Dacă G = UΣV H , atunci DVS a
matricei A este, evident, A = VΣ T U H .