Calculul valorilor si vectorilor proprii

418 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
Deoarece vectorul z are norma unitară, i.e. ∑ k+1
i=1 |z i| 2 = 1, pentru expresia de sub
radical avem evaluarea
k+1
∑
k∑
|z i | 2 σi 2 = σ2 k+1 + |z i | 2 (σi 2 −σ2 k+1 ) ≥ σ2 k+1 .
i=1
i=1
Din ultimele două relaţii rezultă ‖A−X‖ 2 ≥ σk+1 2 pentru orice matrice X ∈ ICm×n
de rangk şi, cum am văzut mai sus că margineainferioarăpoate fi atinsă, că (5.121)
este adevărată.
✸
Prin urmare, σ k+1 este cea mai mică distanţă, în sensul normei spectrale, dintre
matricea A şi toate matricele m×n de rang k. În particular, cea mai mică distanţă
dintre o matrice A ∈ IC n×n nesingulară şi toate matricele singulare este dată de
valoarea singulară minimă σ n a lui A.
Exemplul 5.5 Considerăm important şi util, în contextul acestui paragraf, să
reluăm un exemplu prezentat în capitolul 2, exemplu menit să ilustreze faptul că
unele criterii, încă uzitate, pentru aprecierea ”apropierii” unei matrice de o matrice
singulară (cum ar fi valoarea determinantului sau cel mai mic dintre modulele valorilor
proprii), dau informaţii false şi că singurul criteriu corespunzător este dat de
valoarea singulară minimă. Fie matricea Toeplitz superior triunghiulară
⎡
⎤
1 −1 ··· −1 −1
0 1 ··· −1 −1
A =
.
⎢ . . .. . .
∈ IR n×n
⎥
⎣ 0 0 ··· 1 −1 ⎦
0 0 ··· 0 1
având, evident, detA = 1 şi toate valorile proprii egale cu 1, deci min|λ i (A)| = 1,
independent de dimensiunea matricei. Prin urmare, ambele criteriiamintite maisus
indică ”indubitabil” faptul că matricea A este suficient de ”departe” de o matrice
singulară şi că, aparent, este bine condiţionată la inversare. Faptul că, cel puţin în
cazul de faţă, aparenţele înşeală se poate constata imediat considerând matricea
⎡
⎤
1 −1 ··· −1 −1
0 1 ··· −1 −1
à =
.
⎢ . . .. . .
∈ IR n×n
⎥
⎣ 0 0 ··· 1 −1 ⎦
− 1
2
0 ··· 0 1
n−2
care este (demonstraţi!) singulară. Cum ‖A − Ã‖ = 1
2 n−2 ≥ σ n (A) rezultă că
matricea A se apropie exponenţial de o matrice singulară odată cu creşterea dimensiunii.
Numărul de condiţionare la inversare creşte şi el exponenţial cu dimensiunea
matricei. De exemplu, utilizând ‖ · ‖ ∞ , numărul de condiţionare are expresia
κ ∞ = n2 n−1 . Pe de altă parte, matrice având valori proprii foarte mici şi, ca