Calculul valorilor si vectorilor proprii

306 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
BD 1. Pentru k = 1 : q −1
1. Pentru j = k +1 : q
1. Se rezolvă ecuaţia Sylvester T kk X kj −X kj T jj = −T kj
2. T kj = 0
3. Dacă k < q −1 atunci
1. Pentru l = j +1 : q
1. T kl = T kl −X kj T jl
2. Pentru i = 1 : q
1. Q ij = Q ij +Q ik X kj
Algoritmul de implementare al schemei de calcul BD arată astfel.
Algoritmul 4.23 (BDc – Diagonalizarea bloc a unei matrice bloc
superior triunghiulare) (Date matricea bloc superior triunghiulară T ∈
∈ IC n×n , având blocurile diagonale T ii ∈ IC ni×ni , i = 1 : q, astfel încât
λ(T ii )∩λ(T jj ) = ∅, ∀i ≠ j, matricea de transformare iniţială Q ∈ IC n×n
şi vectorul nd = [n 1 n 2 ... n q ] al ordinelor blocurilor diagonale, algoritmul
calculează matricea unitar bloc triunghiulară X ∈ IC m×n astfel
încât T ← X −1 TX este bloc-diagonală T = diag(T 11 ,T 22 ,...,T qq ) şi
acumulează transformărileactualizând matricea Q: Q ← QX. Matricea
X nu se formează explicit.)
1. r 1 = 1
2. s 1 = n 1
3. Pentru k = 1 : q −1
1. r k+1 = r k +n k
2. s k+1 = s k +n k+1
4. Pentru k = 1 : q −1
1. Pentru j = k +1 : q
1. Y = SYLV(T(r k :s k ,r k :s k ),T(r j :s j ,r j :s j ),
−T(r k :s k ,r j :s j ))
2. T(r k :s k ,r j :s j ) = 0
3. Dacă k < q −1 atunci
1. Pentru l = j +1 : q
1. T(r k :s k ,r l :s l ) = T(r k :s k ,r l :s l )−YT(r j :s j ,r l :s l )
4. Q(:,r j :s j ) = Q(:,r j :s j )+Q(:,r k :s k )Y
Comentarii. Sintaxa de apel pentru algoritmul 4.23 este
[T,Q] = BD(T,Q,nd).
Pentru simplificarea scrierii algoritmului s-au introdus vectorii de indici iniţiali (r)
şi finali (s) ai blocurilor, i.e. astfel încât T ij = T(r i : s i ,r j : s j ). Întrucât matricea
X nu se formează explicit (în afara cazului când Q iniţial este I n ) pentru soluţiile
X kj ale ecuaţiilor Sylvester s-a utilizat aceeaşi variabilă matriceală Y.