Calculul valorilor si vectorilor proprii

338 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Frobenius a matricei B. Se poate arăta (v. exerciţiul 4.64) că valoarea optimală
a lui θ este situată în intervalul [− π 4 , π 4 ) şi asigură anularea elementului a qp şi,
simultan, datorită simetriei, a elementului a pq . În consecinţă, parametrii c şi s pot
fi determinaţi din această condiţie, respectiv, din condiţia ca matricea
D =
[ ] [
d11 d 12 def c s
=
d 21 d 22 −s c
] T [ ][ ]
app a pq c s
a qq −s c
a qp
(4.318)
să fie diagonală. Prin calcul direct obţinem
⎧
⎨ d 11 = a pp c 2 −2a qp cs+a qq s 2
d 12 = (a pp −a qq )cs+a pq (c 2 −s 2 ) = d 21
⎩
d 22 = a pp s 2 +2a qp cs+a qq c 2 .
(4.319)
Dacă a pq ≠ 0 (altfel J = I n ), atunci impunând d 12 = d 21 = 0, din (4.319) rezultă
c 2 −s 2
cs
= a qq −a pp
a qp
. (4.320)
Introducând, acum, notaţiile
t = s c = tgθ,
τ = a qq −a pp
2a qp
, (4.321)
relaţia (4.320) se scrie sub forma unei ecuaţii de gradul 2 în t
t 2 +2τt−1 = 0. (4.322)
Rădăcina t a acestei ecuaţii care corespunde valorilor optimale ale parametrilor c şi
s trebuie să asigure satisfacerea condiţiei |θ| < π 4
, i.e. |t| < 1. Prin urmare, valorile
optimale ale lui t, c şi s se calculează cu relaţiile
t =
sgnτ
|τ|+ √ 1+τ 2, c = 1
√ , s = ct. (4.323)
1+t
2
După determinarea valorilor optimale ale parametrilor c şi s, calculul produsului
A ← J T AJ se poate face economic ţinând seama de simetria rezultatului. Evident,
în acest produs vor fi afectate numai liniile şi coloanele p şi q. La fel ca la algoritmul
QR simetric, vom presupune că matricea A este memorată numai prin triunghiul
ei inferior. În acest fel elementele afectate sunt cele evidenţiate în figura 4.9.3, iar
relaţiile de calcul sunt deja familiare cititorului care a parcurs capitolul 3. Pentru
o redactare mai concisă şi mai clară a algoritmilor de implementare a metodelor
Jacobi vom scrie un algoritm pentru implementarea unui pas descris mai sus.
Algoritmul 4.29 (IT J– Iteraţie Jacobi) (Date matricea simetrică
A ∈ IR n×n , prin triunghiul său inferior, precum şi întregii 1 ≤ p <
< q ≤ n, algoritmul calculeazăparametrii optimali c, s ai rotaţiei Jacobi
şi suprascrie triunghiul inferior al matricei A cu triunghiul inferior al
matricei succesor A ′ = J T AJ.)