Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.6. APLICAŢIILE DVS 431
Problema CMMP cu restricţii pătratice
Restricţiile pătratice întâlnite în practica problemelor CMMP sunt, în general, de
tip inegalitate având forma
X = {x|x ∈ IC n , ‖Bx−d‖ ≤ γ}, (5.162)
unde B ∈ IC p×n , d ∈ IC p , γ ≥ 0 este un scalar real, iar ‖·‖ este norma euclidiană.
Evident, dacă γ = 0, atunci restricţiile pătratice (5.162) devin restricţii liniare de
tip egalitate, tratate în paragraful precedent.
Pentru date reale mulţimea X este un (hiper)elipsoid în IR n . Particularizările
curente ale restricţiilor (5.162) se obţin pentru d = 0 (în care caz elipsoidul este
centrat în origine) sau pentru B = I n (elipsoidul devine o sferă plină, i.e. o bilă).
În sfârşit, o categorie importantă o reprezintă restricţiile pătratice de tip egalitate
care se obţin înlocuind în (5.162) relaţia de inegalitate cu o relaţie de egalitate şi
considerând γ > 0.
Vom aborda rezolvarea problemei CMMP, definite de (5.155), (5.162), mai întâi
în cazul general, iar apoi în cazul particular al unei bile.
Fie problema CMMP (5.155), (5.162). Având în vedere faptul că sunt implicate
două matrice, A şi B, apare ca naturală abordarea problemei prin încercarea
de diagonalizare simultană a celor două matrice. Instrumentul adecvat este descompunerea
valorilor singulare generalizate (DVSG, v. §5.1). Pesupunem KerA∩
KerB = {0} 30 , şi, pentru fixarea ideilor şi notaţiilor, p ≥ n. În conformitate cu
teorema 5.4, există matricele unitare U ∈ IC m×m , V ∈ IC p×p şi matricea nesingulară
W ∈ IC n×n astfel încât
[ ]
U H C1
AW = C = , C 1 = diag(c 1 ,c 2 ,...,c n ) ∈ IR n×n ,
V H BW = S =
0
[
S1
0
]
, S 1 = diag(s 1 ,s 2 ,...,s n ) ∈ IR n×n ,
(5.163)
unde valorile singulare generalizate (c i ,s i ) satisfac condiţiile c 2 i +s2 i
şi sunt ordonate conform
1 ≥ c 1 ≥ c 2 ≥ ... ≥ c n ≥ 0,
0 ≤ s 1 ≤ s 2 ≤ ... ≤ s n ≤ 1.
= 1, i = 1 : n,
(5.164)
Ţinând seama de faptul că transformările unitare conservă norma euclidiană şi
notând
W −1 x def
= y (5.165)
norma reziduului asociat problemei CMMP şi restricţia (5.162) se scriu în forma
echivalentă
‖r‖ = ‖Ax−b‖ = ‖UCW −1 x−b‖ = ‖Cy −˜b‖, ˜b = U H b,
‖Bx−d‖ = ‖VSW −1 x−d‖ = ‖Sy − ˜d‖ ≤ γ, ˜d = V H d,
(5.166)
30 Aceste condiţii nu sunt neapărat necesare, dar permit anumite simplificări (v. §5.1).