Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.2. FORMA SCHUR GENERALIZATĂ 453
6.2.3 Forma diagonală a fascicolelor hermitice
pozitiv definite
În cazul fascicolelorhermitice (în cazul real, simetrice) vom fi interesaţi de condiţiile
în caretransformărilede congruenţă pot fi utilizate pentru reducereala forma Schur
generalizată. Dacă o astfel de posibilitate există, atunci, având în vedere că rezultatul
este o formă Schur generalizată hermitică, rezultă că ambele matrice sunt diagonale.
Vom numi această structură formă diagonală generalizată. Aceste condiţii
sunt prezentate în teorema următoare. Ţinând seama de faptul că rezultatul nu
este o generalizare directă a unui rezultat similar din cazul ordinar, prezentăm şi
demonstraţia.
Teorema 6.3 (Forma diagonală generalizată) Fie un fascicol hermitic definit de
perechea (A,B) ∈ IC n×n ×IC n×n şi matricea (hermitică)
C(µ) = µA+(1−µ)B, µ ∈ IR. (6.19)
Dacă există un scalar µ ∈ [0, 1], astfel încât matricea C(µ) este pozitiv semidefinită,
i.e. x H C(µ)x ≥ 0, ∀x ∈ IC, şi
KerC(µ) = KerA∩KerB, (6.20)
atunci există o matrice nesingulară T ∈ IC n×n astfel încât perechea congruentă
(F,G) = (T H AT,T H BT) (6.21)
are matricele F şi G diagonale, i.e. este în formă diagonală generalizată.
În cazul real, toate matricele implicate sunt reale.
Demonstraţie. Fie µ ∈ [0, 1] astfel încât matricea C(µ) este pozitiv semidefinită
şi este satisfăcută condiţia (6.20). Întrucât matricea C(µ) este hermitică şi pozitiv
semidefinită, forma Schur a lui C(µ) este diagonală cu elementele diagonale reale
şi nenegative care pot fi ordonate. Altfel spus, există o matrice unitară U 1 ∈ IC n×n
astfel încât
[ ] D 0
U1 H C(µ)U 1 = , D = diag(d
0 0
1 ,d 2 ,...,d k ), d i > 0, i = 1 : k. (6.22)
√
Fie ∆ = D 1 2 = diag( d1 , √ d 2 ,..., √ [ ]
∆ 0
d k ), ∆ 1 = şi matricea nesingulară
T 1 = U 1 ∆ −1
1 . Considerăm transformarea de
0 I n−k
congruenţă
şi matricea
C 1 (µ) = T H 1 C(µ)T 1 = ∆ −1
1 UH 1 C(µ)U 1∆ −1
1 =
În continuare avem, evident,
(A 1 ,B 1 ) = (T H 1 AT 1,T H 1 BT 1) (6.23)
[
Ik 0
0 0
]
= µA 1 +(1−µ)B 1 . (6.24)
KerC(µ) = KerA∩KerB ⇔ KerC 1 (µ) = KerA 1 ∩KerB 1 . (6.25)