Calculul valorilor si vectorilor proprii

410 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
1. [f(k : l),g(k : l−1),Y,Z] =
= DVS 2(f(k : l),g(k : l−1))
2. Dacă opt 1 = ′ da ′ atunci
U(:,k : l) ← U(:,k : l)Y
3. Dacă opt 2 = ′ da ′ atunci
V(:,k : l) ← V(:,k : l)Z
4. % Calculul valorilor singulare ale matricei diagonale obţinute în
faza iterativă
1. Pentru j = 1 : n
1. Dacă opt 2 = ′ da ′ atunci
1. Dacă f j ≠ 0 atunci
1. d = ¯f j
|f j |
2. V(: ,j) = V(:,j)d
2. f j = |f j |
5. % Ordonarea valorilor singulare
1. [f,U,V ] = DVS ORD(f,U,V,opt 1 ,opt 2 )
Comentarii. Comentariile incluse pun în evidenţă ideile care au stat la baza elaborării
algoritmului. Din punct de vedere tehnic semnalăm utilizarea instrucţiunii
break de abandonare a execuţiei ciclurilor de tip pentru sau de tip c^at timp.
O sintaxă de apel naturală a algoritmului DVSc este, evident,
[f,U,V ] = DVSc(A,tol,opt 1 ,opt 2 ).
Algoritmul DVSc calculează DVS şi pentru matrice reale 22 deşi pentru date reale
este mai economică o versiune ”reală” a algoritmului, care se obţine simplu prin
utilizarea corespondentelor reale ale procedurilor implicate.
De asemenea, din raţiuni de concizie şi claritate, în cele ce urmează vom utiliza
şi sintaxa (poate chiar mai semnificativă)
[U,Σ,V ] = DVSc(A,opt 1 ,opt 2 ),
care presupune unele ajustări minore ale algoritmului de mai sus, cum sunt introducerea
unei toleranţe implicite (de obicei de nivelul lui ε M ‖A‖) şi formarea matricei
diagonale Σ ∈ IR m×n din definiţia DVS ale cărei elemente diagonale sunt elementele
vectorului f. Ordinea modificată a parametrilor de ieşire sugerează formula DVS.
Complexitatea estimată a algoritmului DVS, conform [VI], este dată în tabelul
5.1 pentru varianta reală cu date de intrare matrice reale m×n şi diverse tipuri de
opţiuni. De asemenea, rezultatele sunt date pentru două versiuni ale algoritmului:
prima versiune utilizează algoritmul de bidiagonalizare JQr (ca mai sus), iar cea
de a doua algoritmul de R-bidiagonalizare (v. obs. 5.4).
✸
22 Din acest motiv, în referirile ulterioare vom renunţa la caracterul c din siglă.