Calculul valorilor si vectorilor proprii

496 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
3. [S,T,Q,Z] =
= PGr(S,T,Q,Z,lcbl(j),strbl(j),strbl(j +1),tol)
4. i j ↔ i j+1
5. strbl(j) ↔ strbl(j +1)
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului de mai sus este
[S,T,Q,Z] = FSRG ORD(S,T,Q,Z,π,tol).
La fel ca în cazul complex, volumul de calcul necesar pentru ordonare este dictată
esenţial de natura permutării. Cazul cel mai defavorabil apare când permutarea
este o inversiune şi toate blocurile sunt 2×2 şi are o complexitate de O(n 3 ).
Şi aici, dacă se urmăreşte exclusiv construcţia unei baze unitare pentru un
subspaţiu de deflaţie asociat unui set simetric de valori proprii generalizate definite
de k blocuri diagonale (k < p), este suficientă o ordonare parţială. Se recomandă,
de asemenea, renunţarea la actualizarea matricei Q.
Încazul încaresepreferăutilizareapermutăriiinverseσ = π −1 = {j 1 ,j 2 ,...,j p }
se poate utiliza o schemă de calcul similară cu cea prezentată în comentariile la
algoritmul 6.10. Scrierea explicită a acestei variante de algoritm de ordonare este
propusă cititorului.
✸
6.5 Condiţionarea valorilor proprii generalizate
şi a vectorilor proprii generalizaţi
Sensibilitatea valorilor proprii generalizate la variaţii în datele iniţiale, sau altfel
spus condiţionarea lor numerică, se poate aprecia foarte uşor în forma Schur generalizată.
În ipotezaplauzibilăcăformaSchurgeneralizată(S,T)estepuţin sensibilă
la perturbaţii în elementele matricelor perechii (A,B) rezultă că o valoare proprie
generalizată λ i = s ii /t ii este cu atât mai rău condiţionată cu cât t ii este mai mic.
Totuşi, dacă privim valorile proprii generalizate ca perechi (s ii ,t ii ), fără să considerăm
necesară efectuarea împărţirii, această afirmaţie nu mai poate fi susţinută.
Din acest motiv, în apreciereacondiţionării numerice a valorilor proprii generalizate
se recomandă o tratare simetrică a perechii (A,B) în sensul că trebuie considerate
simultan ambele fascicole F = A − λB şi G = B − λA. Unei valori proprii rău
condiţionate a fascicolului F îi corespunde o valoare proprie inversă a lui G care
poatefifoartebinecondiţionată. De aceeea, în[VI], pentru apreciereacondiţionării
valorilor proprii generalizate se propune utilizarea metricii cordale definită pentru
IR prin distanţa 18 |α−β|
chord(α,β) = √ √ ∀α,β ∈ IR.
1+α
2
1+β2, 18 Distanţei cordale i se pot da următoarele interpretări.
1. Fie θ α = arctgα şi θ β = arctgβ. Atunci, este uşor de arătat că chord(α,β) = |sin(θ α −θ β )|.
Prin urmare, printre altele, 0 ≤ chord(α,β) < 1.
2. În cazul complex, dacă πα, π β sunt proiecţiile lui α, respectiv β pe sfera Riemann, atunci
chord(α,β) este jumătate din distanţa euclidiană (i.e. lungimea coardei) dintre cele două proiecţii.