Calculul valorilor si vectorilor proprii

INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 505
1. Pentru k = 1 : n−1
1. Pentru i = 1 : n, i ≠ k
1. a ik ← µ ik = a ik /a kk
2. Pentru j = k +1 : n
1. Pentru i = 1 : n, i ≠ k
1. a ij ← a ij −a ik a kj
N op ≈ n 3 , cu50% mai multdecâtîn eliminarea gaussiană, motivpentrucarealgoritmul
Gauss-Jordan nu este utilizat în practică.
c. Pivotul se caută la fel ca în eliminarea gaussiană, adică numai pe liniile k : n.
P2.5Prezentămodemonstraţie doarpentrucazul Anesingulară. Demonstraţiapentru
A singulară rămâne ca exerciţiu (netrivial).
Presupunem că A are două factorizări LDU diferite:
A = LDU = L ′ D ′ U ′ . (7.2)
L, L ′ , U, U ′ sunt matrice triunghiulare unitate, deci nesingulare; mai mult, L −1 , (L ′ ) −1 ,
U −1 , (U ′ ) −1 au aceeaşi structură. A este nesingulară, deci astfel sunt şi D şi D ′ , iar
matricele D −1 şi (D ′ ) −1 sunt diagonale. Atunci, din (7.2) rezultă
(L ′ ) −1 L = D ′ U ′ U −1 D −1 ,
în care termenul din stânga este o matrice inferior triunghiulară unitate, iar cel din dreapta
o matrice superior triunghiulară. Atunci (L ′ ) −1 L = I n, adică L = L ′ . Rezultă acum că
U ′ U −1 = (D ′ ) −1 D.
Termenul stâng este o matrice superior triunghiulară unitate, iar cel drept o matrice diagonală.
Aceasta este posibil doar dacă ambii termeni sunt egali cu matricea unitate I n.
În concluzie U = U ′ , D = D ′ .
P2.6Presupunemcăexistăk < n, cel maimicastfelîncât A [k] estesingulară. Deoarece
A [k] = L [k] D [k] U [k] , iar L [k] şi U [k] sunt nesingulare ca submatrice lider principale ale unor
matrice triunghiulare unitate, rezultă că D [k] este singulară şi anume că d kk = 0 (deoarece
D [k−1] este nesingulară). În acest caz, coloana k a matricei LD este nulă, deci elementele
l ik , i > k, pot fi arbitrare. Analog, linia k a matricei DU este nulă, deci elementele u kj ,
j > k, pot fi arbitrare. Cum k < n, rezultă că factorizarea LDU nu este unică, ceea ce
contrazice ipoteza.
P2.7 În GPP multiplicatorii sunt subunitari. Permutările de linii lasă multiplicatorii
în triunghiul inferior.
P2.8 GPC se modifică la fel ca GPP. |u kk | ≥ |u kj |, j > k, deoarece, la pasul k, pivotul
este mai mare (în modul) decât elementele aflate la dreapta sa, iar eliminarea gaussiană
propriu-zisă nu modifică linia k.
P2.9 Se modifică doar valoarea maximă a indicilor de coloană.
1. Pentru k = 1 : r
1. Se determină i k ∈ k : n a.î. |a ik k| = max i=k:n |a ik |.
2. p(k) ← i k
3. A(i k ,1 : r) ↔ A(k,1 : r)
4. Pentru i = k +1 : n
1. a ik ← a ik /a kk
5. Pentru i = k +1 : n
1. Pentru j = k +1 : r
1. a ij ← a ij −a ik a kj