Calculul valorilor si vectorilor proprii

514 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
[ ]
S si
b. S + = , unde s
0 β i = W T u i, β i = 1/τ i. Forma din text este preferabilă,
i
deoarece aplicarea transformării necesită numai înmulţiri de matrice.
P3.38 Se partiţionează B în blocuri şi se utilizează informaţia din triunghiul strict
inferior al lui A pentru a se forma bloc-reflectorii necesari.
P3.40 A = Q ′ R ′ .
P3.41 G = R ′T R ′ , deci α = y T y, cu y = (R ′ ) −T c.
P3.44 Procesul de ortogonalizare începe cu ultima coloană a n = q nl nn.
P3.46 a. Notând c = R T d, putem scrie
[ ]
not
G + = G+C T C = [R T C T R
] = A T
C
+A +,
[ ]
not
d + = R T d+C T y = [R T C T d
] = A +b +,
y
deci problema se reduce la rezolvarea în sensul CMMP a sistemului A +x = b +, unde A +
este matricea din problema 3.20.
b. Se aduce A + la forma superior triunghiulară Q T PA + = R + şi se aplică transformările
membrului drept.
P3.47 Se procedează ca în secţiunea 3.5.1.
P3.48 Matricea B = A T + are structura din problema 3.20. Prin urmare, dacă VB = R,
unde V = V m...V 2V 1, atunci evident A +Z = L, unde Z = V T şi L = R T . Reflectorii
reali V k = I n −ν k νk T /β k sunt matrice simetrice. În cazul complex, considerat în text, am
notat V k = Zk H , unde Z k = I −τ k ν k νk H şi τ k = 1/¯β k
P3.49 a. O matrice epică A este inversabilă la dreapta, i.e. există A d astfel încât
AA d = I m (de exemplu se poate lua A d = A + , unde A + = A T (AA T ) −1 ). Dacă (şi numai
dacă) m = n, atunci A d = A −1 este unică. Dacă m < n, atunci mulţimea inverselor la
dreapta este A d = A + +Z ′′ B, unde Z ′′ este o bază (nu neapărat ortogonală) a subspaţiului
N = KerA, iar B este o matrice oarecare.
b. P 2 = I m −AA + este proiectorul ortogonal pe S ⊥ = KerA T , deci are structura
[ ]
0 0
P 2 = Q Q T , Q = [Q ′ Q ′′ ],
0 I m−n
unde Q T A = R. De asemenea, norma Frobenius este ortogonal invariantă.
P3.50 a. Dacă A este monică şi Q T A = R, atunci A T este epică şi A T Q = R T . Prin
urmare, notând y = Qv, sistemul A T y = c devine R T v = c. Mai departe se procedează ca
în secţiunea 3.6.3.
P3.51 În primul caz, dacă A este monică cu m > n, algoritmul are n etape. Pentru a
anula elementele subdiagonale, acum se utilizează transformările elementare (stabilizate)
M k , respectiv T k = M k P k (vezi secţiunea 2.1). Notând
[ ]
R
′
MA = R = , M −1 = S = [S ′ S ′′ ],
0
putem scrie A = S ′ R ′ , unde R ′ este inversabilă, deci S ′ este o bază (neortogonală) a
subspaţiului S = ImA, iar S ′′ este o completare (oarecare) a lui S ′ până [ la o]
bază a lui
d
IR m ′
. Considerând sistemul supradeterminat Ax = b şi notând Mb = d =
d ′′ , condiţia
de compatibilitate este d ′′ = 0.