Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.2. PROBLEME DE CALCUL CONEXE 383
Se constată imediat că valorile singulare generalizate ale perechii (A,I n ) sunt
valorile singulare ordinare ale matricei A.
Problema de calcul a acestui capitol este, în primul rând, determinarea valorilor
singulare ale unei matrice date. Ca şi până acum, cazul matricelor reale va fi
tratat distinct pentru a asigura maximum de eficienţă posibil. Determinarea vectorilor
singulari revine la acumularea transformărilor şi apare ca necesară în multe
aplicaţii.
Observaţia 5.3 Teorema 5.2 sugerează o procedură de determinare a valorilor
singulare ale unei matrice A folosind algoritmul QR simetric pentru calculul valorilor
proprii e.g. ale matricei B = A H A. De asemenea, dacă se acumulează
transformările din aplicarea algoritmului QR matricei B, se pot calcula matricele
de transformare U şi V. Concret, matricea V este chiar matricea de transformare
din descompunerea spectrală ordonată Λ = V H BV a matricei B, iar U se poate
determina cu relaţiile (exerciţiu pentru cititor)
U = [ U 1 U 2 ] cu U 1 = AV(:,1:r)Σ −1
1
şi U 2 o completare a lui U 1 până la o matrice unitară. Din punctul de vedere
al calculului numeric singurul punct slab al unei astfel de proceduri este însuşi
calculul efectiv al matricei B. Ideea adaptării algoritmului QR simetric astfel încât
să se evite formarea matricei B a fost propusă în anul 1965 de către G.H.Golub şi
W.Kahan [30] şi a condus la algoritmul DVS prezentat în secţiunea 5.3. ✸
5.2 Probleme de calcul conexe
Considerăm util să prezentăm în continuare câteva rezultate fundamentale care fac
din DVS un instrumentfoarteputernic de rezolvarenumericăa numeroaseprobleme
de algebră liniară. În cazurile în care rezolvarea este directă schemele de calcul
propuse se pot implementa ca atare şi, pentru a evita repetiţii supărătoare, nu mai
sunt prezentaţi algoritmi formali. Pentru problemele mai dificile detalii practice şi
aspecte numerice pot fi găsite în secţiunile 5.5 şi 5.6.
5.2.1 Rangul matriceal
După cum se ştie (v. şi cap. 1), două matrice echivalente au acelaşi rang 13 (o
demonstraţie poate fi găsită în [I]). Având în vedere acest lucru din teorema 5.1
rezultă imediat următorul rezultat.
Propoziţia 5.2 Rangul unei matrice este egal cu numărul valorilor sale singulare
nenule.
13 Este adevărată şi reciproca, i.e. două matrice de aceleaşi dimensiuni care au acelaşi rang sunt
echivalente.