Calculul valorilor si vectorilor proprii

262 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
(e.g. în jurul lui n = 10), pentru care numărul mediu de iteraţii necesar pentru
evidenţierea unei valori prorii este ceva mai mare (din experienţa noastră didactică
apreciem acest număr la 3-4). Aceasta se explică prin faptul că, simultan cu
elementele subdiagonale din ultima linie şi prima coloană, toate elementele subdiagonale
ale blocului iterat au tendinţă de anulare asimptotică astfel încât, la matrice
de dimensiuni mai mari, ultima fază a procesului iterativ este extrem de rapidă.
Evaluări mai fine sunt date la varianta reală.
Utilizarea exclusivă a transformărilorunitare conferă algoritmului QR1 o foarte
bună stabilitate numerică. Aspectele cantitative ale acestei aprecieri calitative a algoritmuluiQR1,precumşispectesuplimentarereferitoarelacondiţionareavalorilor
proprii sunt prezentate în secţiunile §4.10 şi §4.11.
✸
F. Un pas dublu QR cu deplasare implicită
pentru matrice reale
În cazul matricelor reale un spor important de eficienţă se obţine utilizând o aritmetică
reală şi strategia paşilor dubli QR. La fel ca în cazul pasului simplu, un
pas dublu QR cu deplasare implicită are ca bază teoretică aceeaşi teoremă 4.15. Şi
aici, ideea centrală constă în asigurarea coincidenţei primei coloane a matricei de
transformare cumulate aferente unui pas dublu QR cu prima coloană a matricei de
transformare cumulate de la doi paşi simpli consecutivi din varianta cu deplasare
explicită. Reducerea efortului de calcul la nivelul a doi paşi cu deplasare explicită se
bazează esenţial pe minimizarea numărului de operaţii aritmetice, prin exploatarea
eficientă a structurilor de zerouri ale matricelor implicate.
Concret, un pas dublu QR cu deplasare implicită constă din următoarele transformări.
1. Se calculează prima coloană ˘q (k)
1 a matricei ˘Q = Qk Q k+1 ce defineşte
transformarea ortogonală aferentă unui pas dublu QR cu
deplasare explicită.
2. Se determină o matrice ortogonalăU 1 astfel încât prima sa coloană
să fie ˘q (k)
1 , i.e. U 1e 1 = ˘q (k)
1 .
3. Se calculeazămatricea B = U1 TH kU 1 (a cărei structură nu mai este
superior Hessenberg).
4. Se reface structura superior Hessenberg aplicând algoritmul HQ
matriceiB: [H k+2 ,Ū] = HQ(B). Transformărileimplicatedeaceastă
reducere nu afectează prima coloanăamatricei de transformare
cumulate.
Dacă matricea H k este ireductibilă atunci rezultatul H k+2 al aplicării schemei de
calcul de mai sus va fi esenţial acelaşi, în sensul observaţiei 4.5, cu cel dat de un pas
dublu QR cu deplasare explicită. Mai mult, schema de mai sus este determinant
mai eficientă decât varianta cu deplasare explicită. Într-adevăr, exploatând corespunzător
avantajele structurale date de forma Hessenberg a matricelor iniţială şi
finală se poate reduce complexitatea pasului dublu de la O(n 3 ) la O(n 2 ), ceea ce în
economia întregului algoritm este esenţial. Detaliile sunt prezentate în continuare.