Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.10. CONDIŢIONARE 343
ne propunem să abordăm câteva aspecte ale problemei sensibilităţii valorilor şi
vectorilor proprii la perturbaţii ale elementelor matricei.
Apreciereacondiţionăriiseface,deobicei,prinstabilireaunormarginisuperioare
pentru variaţiile valorilor şi vectorilor proprii în raport cu variaţiile elementelor
matricei date. Chiar dacă aceste margini sunt, de cele mai multe ori, supraevaluate,
eleoferăoimaginefoarteutilăasupraunorsituaţiicritice, încareerorilerezultatelor
ies de sub control. Stabilirea evaluărilor privind sensibilitatea valorilor şi vectorilor
proprii se bazeazăpe proprietăţile de continuitate ale acestora înraportcu variaţiile
elementelor matricei. Întrucât aceste proprietăţi capătă un aspect complicat în
cazulvalorilorpropriimultiple, nevommărginidemersulteoreticînprincipalasupra
matricelor cu valori proprii distincte, atrăgând de la început atenţia asupra faptului
că valorile proprii multiple sunt semnificativ mai rău condiţionate decât cele simple.
De asemenea, vom tratadistinct cazul matricelorhermitice (în cazul real, simetrice)
care prezintă calităţi cu totul remarcabile din acest punct de vedere.
Proprietăţile de netezime ale dependenţelor valorilor proprii simple şi ale vectorilor
proprii asociaţi se pot exprima în felul următor [IV]. Fie matricea A ∈ IC n×n
şi o matrice de perturbaţie E = ǫG, cu ǫ ∈ IR şi G ∈ IC n×n având ‖G‖ = 1, arbitrară
dar fixată 56 . Dacă λ ∈ λ(A) este o valoare proprie simplă şi x ∈ IC n un
vector propriu asociat, de normă euclidiană unitară (i.e. ‖x‖ = 1), atunci există o
valoare proprie λ(ǫ) ∈ λ(A+E) a matricei perturbate F = A+E = A+ǫG cu un
vector propriu asociat x(ǫ) (de asemenea de normă euclidiană unitară) care admit
următoarele dezvoltări în serii de puteri în raport cu ǫ:
λ(ǫ) = λ+α 1 ǫ+α 2 ǫ 2 +... ,
x(ǫ) = x+z 1 ǫ +z 2 ǫ 2 +... ,
(4.326)
convergente într-o vecinătate a punctului ǫ = 0. Evident, avem λ(0) = λ, x(0) = x,
iar λ(ǫ) şi x(ǫ) sunt funcţii continue şi derivabile în domeniul de convegenţă, în
particular lim ǫ→0 λ(ǫ) = λ şi lim ǫ→0 x(ǫ) = x. Întrucât, în general, în dezvoltările
de mai sus, α 1 ≠ 0 şi z 1 ≠ 0, o primă evaluare a dependenţei valorilorproprii simple
şi a vectorilor proprii asociaţi de perturbaţiile din elementele matricei este dată de
|λ(ǫ)−λ| = O(ǫ),
‖x(ǫ)−x‖ = O(ǫ),
(4.327)
utilă în aprecierea condiţionării în cazul practic al perturbaţiilor ”mici”, i.e. al
celor pentru care ǫ 2 este ”neglijabil” în raport cu ǫ. Evaluările calitative (4.327) se
pot aprecia cantitativ prin |α 1 | şi, respectiv, prin ‖z 1 ‖ (sau margini superioare ale
acestora), care pot servi drept numere de condiţionare pentru valoarea proprie λ şi
vectorul propriu asociat x.
4.10.1 Condiţionarea valorilor şi vectorilor proprii
pentru matrice generale (nehermitice)
A. Condiţionarea valorilor proprii
Fie A ∈ IC n×n , λ ∈ λ(A) o valoare proprie simplă a matricei A şi x,y ∈ IC n vectori
proprii la dreapta, respectiv la stânga, de normă euclidiană unitară, asociaţi valorii
56 Dacă nu se menţionează altfel, norma matriceală ‖·‖ este norma spectrală, i.e. ‖·‖ 2 .