Calculul valorilor si vectorilor proprii

More documents

Recommendations

Info

528 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII P5.13 a) Dacă U 1 ∈ IR m×m , V 1 ∈ IR n×n sunt reflectori elementari astfel încât U 1u = = ‖u‖e 1 ∈ IR m , şi V 1v = ‖v‖e 1 ∈ IR n , atunci: [ ] U1 T ‖u‖‖v‖ 0 AV 1 = ∈ IR m×n . 0 0 Evident, rangA = 1 dacă u ≠ 0, v ≠ 0, şi zero altfel. b) Dacă rangA = 1, atunci dezvoltarea valorilor singulare se reduce la A = σ 1u 1v1 H . P5.14 Fie ¯w def = Q¯v⊥ū, unde Q este o matrice ortogonală (cum calculaţi matricea Q) şi w def = ¯w/‖¯w‖, u def = ū/‖ū‖. Calculaţi o matrice ortogonală C ∈ IR n×(n−2) astfel încât U = [u w C] şi V = [w u C] sunt ortogonale (folosiţi factorizarea QR a matricei [u w]). Atunci ⎡ u T (I +ū¯v T )w u T (I +ū¯v T )u 0 U T (I +ū¯v T )V = ⎣ w T (I +ū¯v T )w w T (I +ū¯v T )u 0 ⎦ = = 0 0 I n−2 ⎤ [ ] uTū¯v T w 1+u T ū¯v T u 0 1 0 0 0 0 I n−2 şi problema a fost redusă la cazul 2×2 (oricum, celelalte n−2 valori singulare ale lui A sunt egale cu 1). P5.15 Se aplică algoritmul JQ cu precizarea că reflectorii complecşi utilizaţi sunt de tipul celor care dau un rezultat real, e.g. pentru x ∈ IC n se obţine U H 1 x = ‖x‖e 1 ∈ IR n . P5.16 Matricea T = J H J este tridiagonală, hermitică şi are două valori proprii egale. Conform problemei 4.63 (v. cap.4) T este reductibilă, i.e. există i astfel încât T(i+1,i) = = ḡ if i = 0. Deci, g i = 0 sau/şi f i = 0. P5.17 Pentru a exploata structura superior triunghiulară, se utilizează o secvenţă de rotaţii ”modificate”, conform următoarei scheme de calcul: 1. Pentru k = n : −1 : 3 1. Pentru i = 1 : k −2 1. Se calculează rotaţia modificată P i,i+1 astfel încât (P H i,i+1A)(i,k) = 0. 2. A ← P H i,i+1A % Apare un element nenul în poziţia (i+1,i). 3. Se calculează rotaţia modificată Q i,i+1 astfel încât (AQ i,i+1)(i+1,i) = 0. 2. A ← AQ i,i+1. Pentru n = 4, primul pas al ciclului exterior se desfăşoară astfel: A ← P H 12A = A ← P H 23A = ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ × × × ∅ + × × × × × × × × × 0 × × ∅ + × × × ⎤ ⎥ ⎦, A ← AQ 12 = ⎤ ⎥ ⎦, A ← AQ 23 = ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ × × × 0 ∅ × × × × × × × × × 0 × × 0 ∅ × × × ⎤ ⎥ ⎦, ⎤ ⎥ ⎦.
INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 529 P5.18 Utilizând transformări Householder sau Givens, se pot introduce zerouri conform modelului următor, dat pentru m = 7, n = 6, p = 3 (pentru precizare am folosit rotaţii): ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ A = ⎢ ⎣ × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × A ← AQ 45Q 46 = ⎢ ⎣ , A ← P12P H 13A H = ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎡ ⎡ A ← P45P H 46P H 47A H = ⎢ ⎣ ⎡ A ← AQ 23Q 24 = ⎢ ⎣ × × × × 0 0 0 × × × × × 0 × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 0 0 0 × × × × × 0 × × × × × × × × 0 × × 0 × × 0 × × × × 0 0 0 0 0 × × × × × 0 × × × × × + + × × × 0 × × 0 × × 0 × × × × × × × × 0 × × × × × 0 × × × × × × × × × × × × × × × × × După aceste transformări A este bidiagonală în prima linie şi prima colană. Se obţine o problemă similară, dar de dimensiunea (m−1)×(n−1); blocul patrat p×p este deplasat cu o poziţie diagonală. P5.19 Se aplică mai întâi o secvenţă de rotaţii pe stânga care aduce matricea la o formă superior triunghiulară (cu numai două supradiagonale de elemente nenule) după care se adaptează schema de calcul de la problema 5.17. P5.20 Mai întâi se reduce matricea A la forma superior bidiagonală cu algoritmul JQ. Apoi se anulează elementul din poziţia (m,n+1) cu o secvenţă de rotaţii aplicate pe dreaptaA ← AP m,m+1P m−1,m+1...P 1,m+1 care deplaseazăelementulalterantpeverticala coloanei m+1 până la eliminare. Exemplificăm procesul pentru m = 3, n = 5, ] ] [ × × A = × × × + [ × × + A ← AP 24 = × × ∅ × ⎤ , ⎥ ⎦ ⎤ , ⎥ ⎦ ⎤ . ⎥ ⎦ [ × × , A ← AP 34 = × × + × ∅ ] [ × × ∅ , A ← AP 34 = × × × ] , . , ⎥ ⎦
Page 1 and 2:
Capitolul 4 Calculul valorilor şi
Page 3 and 4:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 211 În a
Page 5 and 6:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 213 Exemp
Page 7 and 8:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 215 În c
Page 9 and 10:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 217 Pasul
Page 11 and 12:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 219 Demon
Page 13 and 14:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 221 de un
Page 15 and 16:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 223 Teore
Page 17 and 18:
4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 225 unita
Page 19 and 20:
4.2. FORMA SCHUR 227 Exemplul 4.2 C
Page 21 and 22:
4.2. FORMA SCHUR 229 Lema 4.2 (Defl
Page 23 and 24:
4.2. FORMA SCHUR 231 unde S 11 ∈
Page 25 and 26:
4.3. METODA PUTERII. METODA PUTERII
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
4.4. ALGORITMUL QR 239 4.4 Algoritm
Page 33 and 34:
4.4. ALGORITMUL QR 241 4.4.1 Reduce
Page 35 and 36:
4.4. ALGORITMUL QR 243 prezentări
Page 37 and 38:
4.4. ALGORITMUL QR 245 i.e. H k+1
Page 39 and 40:
4.4. ALGORITMUL QR 247 Într-adevă
Page 41 and 42:
4.4. ALGORITMUL QR 249 Se observă
Page 43 and 44:
4.4. ALGORITMUL QR 251 B. Strategia
Page 45 and 46:
4.4. ALGORITMUL QR 253 Teorema 4.15
Page 47 and 48:
4.4. ALGORITMUL QR 255 nesingulară
Page 49 and 50:
4.4. ALGORITMUL QR 257 Hessenberg a
Page 51 and 52:
4.4. ALGORITMUL QR 259 cu H 11 ∈
Page 53 and 54:
4.4. ALGORITMUL QR 261 4. [A(k : l,
Page 55 and 56:
4.4. ALGORITMUL QR 263 not Consider
Page 57 and 58:
4.4. ALGORITMUL QR 265 ⎡ H ← HU
Page 59 and 60:
4.4. ALGORITMUL QR 267 structurală
Page 61 and 62:
4.4. ALGORITMUL QR 269 5. S(k:k+1,k
Page 63 and 64:
4.4. ALGORITMUL QR 271 4. % Triangu
Page 65 and 66:
4.4. ALGORITMUL QR 273 elementelor
Page 67 and 68:
4.4. ALGORITMUL QR 275 rotunjire ş
Page 69 and 70:
4.4. ALGORITMUL QR 277 sau ( ρ ki
Page 71 and 72:
4.4. ALGORITMUL QR 279 2. Pentru i
Page 73 and 74:
4.5. CALCULUL VECTORILOR PROPRII 28
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
4.6. CALCULUL SUBSPAŢIILOR INVARIA
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 297 cu m
Page 91 and 92:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 299 Algo
Page 93 and 94:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 301 În
Page 95 and 96:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 303 4.7.
Page 97 and 98:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 305 atun
Page 99 and 100:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 307 Vers
Page 101 and 102:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 309 O pr
Page 103 and 104:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 311 În
Page 105 and 106:
4.7. FORMA BLOC-DIAGONALĂ 313 rezu
Page 107 and 108:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 315 seo
Page 109 and 110:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 317 Not
Page 111 and 112:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 319 mul
Page 113 and 114:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 321 3.
Page 115 and 116:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 323 ele
Page 117 and 118:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 325 Pen
Page 119 and 120:
4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 327 tri
Page 121 and 122:
4.9. METODE ALTERNATIVE 329 egalit
Page 123 and 124:
4.9. METODE ALTERNATIVE 331 supunem
Page 125 and 126:
4.9. METODE ALTERNATIVE 333 Demonst
Page 127 and 128:
4.9. METODE ALTERNATIVE 335 BISECT
Page 129 and 130:
4.9. METODE ALTERNATIVE 337 operaţ
Page 131 and 132:
4.9. METODE ALTERNATIVE 339 ❅ ❅
Page 133 and 134:
4.9. METODE ALTERNATIVE 341 1. Dac
Page 135 and 136:
4.10. CONDIŢIONARE 343 ne propunem
Page 137 and 138:
4.10. CONDIŢIONARE 345 constată i
Page 139 and 140:
4.10. CONDIŢIONARE 347 condiţion
Page 141 and 142:
4.10. CONDIŢIONARE 349 Pentru p =
Page 143 and 144:
4.10. CONDIŢIONARE 351 F = A+E, cu
Page 145 and 146:
4.10. CONDIŢIONARE 353 subspaţiul
Page 147 and 148:
4.10. CONDIŢIONARE 355 În particu
Page 149 and 150:
4.11. STABILITATE NUMERICĂ 357 de
Page 151 and 152:
4.12. RUTINE LAPACK ŞI MATLAB 359
Page 153 and 154:
4.13. PROBLEME 361 P 4.8 Fie λ 1,
Page 155 and 156:
4.13. PROBLEME 363 P 4.25 Demonstra
Page 157 and 158:
4.13. PROBLEME 365 P 4.43 Fie matri
Page 159 and 160:
4.13. PROBLEME 367 P 4.59 Adaptaţi
Page 161 and 162:
Capitolul 5 Descompunerea valorilor
Page 163 and 164:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 371 Demon
Page 165 and 166:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 373 ✻x
Page 167 and 168:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 375 Prin
Page 169 and 170:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 377 unde
Page 171 and 172:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 379 În s
Page 173 and 174:
5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 381 rela
Page 175 and 176:
5.2. PROBLEME DE CALCUL CONEXE 383
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
5.3. ALGORITMUL DVS 393 5.3 Algorit
Page 187 and 188:
5.3. ALGORITMUL DVS 395 utilizaţi
Page 189 and 190:
5.3. ALGORITMUL DVS 397 Comentarii.
Page 191 and 192:
5.3. ALGORITMUL DVS 399 condiţia d
Page 193 and 194:
5.3. ALGORITMUL DVS 401 ⎡ J ← U
Page 195 and 196:
5.3. ALGORITMUL DVS 403 Având în
Page 197 and 198:
5.3. ALGORITMUL DVS 405 suprascrier
Page 199 and 200:
5.3. ALGORITMUL DVS 407 5. Dupăîn
Page 201 and 202:
5.3. ALGORITMUL DVS 409 5. Dacă op
Page 203 and 204:
5.4. CONDIŢIONARE 411 opt 1 opt 2
Page 205 and 206:
5.4. CONDIŢIONARE 413 Demonstraţi
Page 207 and 208:
5.5. STABILITATEA ALGORITMULUI DVS
Page 209 and 210:
5.6. APLICAŢIILE DVS 417 problema
Page 211 and 212:
5.6. APLICAŢIILE DVS 419 urmare,
Page 213 and 214:
5.6. APLICAŢIILE DVS 421 şi de un
Page 215 and 216:
5.6. APLICAŢIILE DVS 423 x, i.e. (
Page 217 and 218:
5.6. APLICAŢIILE DVS 425 [ (A(i,:)
Page 219 and 220:
5.6. APLICAŢIILE DVS 427 minimul a
Page 221 and 222:
5.6. APLICAŢIILE DVS 429 5.6.4 Pro
Page 223 and 224:
5.6. APLICAŢIILE DVS 431 Problema
Page 225 and 226:
5.6. APLICAŢIILE DVS 433 Prin urma
Page 227 and 228:
5.6. APLICAŢIILE DVS 435 se obţin
Page 229 and 230:
5.6. APLICAŢIILE DVS 437 7. x ∗
Page 231 and 232:
5.6. APLICAŢIILE DVS 439 2. Se cal
Page 233 and 234:
5.8. PROBLEME 441 Dar ale matricei
Page 235 and 236:
5.8. PROBLEME 443 are o soluţie un
Page 237 and 238:
Capitolul 6 Calculul valorilor şi
Page 239 and 240:
6.1. FORMULAREA PROBLEMEI 447 ( [ ]
Page 241 and 242:
6.1. FORMULAREA PROBLEMEI 449 Propr
Page 243 and 244:
6.2. FORMA SCHUR GENERALIZATĂ 451
Page 245 and 246:
6.2. FORMA SCHUR GENERALIZATĂ 453
Page 247 and 248:
6.3. ALGORITMUL QZ 455 6.3 Algoritm
Page 249 and 250:
6.3. ALGORITMUL QZ 457 ⎡ (A,B)
Page 251 and 252:
6.3. ALGORITMUL QZ 459 În cazul re
Page 253 and 254:
6.3. ALGORITMUL QZ 461 i.e. acumula
Page 255 and 256:
6.3. ALGORITMUL QZ 463 (H,T)←((Q
Page 257 and 258:
6.3. ALGORITMUL QZ 465 5. Dacă opt
Page 259 and 260:
6.3. ALGORITMUL QZ 467 construcţia
Page 261 and 262:
6.3. ALGORITMUL QZ 469 Această sch
Page 263 and 264:
6.3. ALGORITMUL QZ 471 5. Pentru k
Page 265 and 266:
6.3. ALGORITMUL QZ 473 2. % Determi
Page 267 and 268:
6.3. ALGORITMUL QZ 475 2. Se determ
Page 269 and 270: 6.3. ALGORITMUL QZ 477 actuală. Pe
Page 271 and 272: 6.3. ALGORITMUL QZ 479 (H,T)←(HZ
Page 273 and 274: 6.3. ALGORITMUL QZ 481 6. H(:,n−2
Page 275 and 276: 6.3. ALGORITMUL QZ 483 Algoritmul 6
Page 277 and 278: 6.3. ALGORITMUL QZ 485 perechea (S,
Page 279 and 280: 6.4. CALCULUL SUBSPAŢIILOR DE DEFL
Page 289 and 290: 6.6. STABILITATEA ALGORITMULUI QZ 4
Page 291 and 292: 6.8. PROBLEME 499 cu α, β paramet
Page 293 and 294: Indicaţii, răspunsuri, soluţii C
Page 295 and 296: INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 5
Page 319: INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 5
Page 325 and 326: Bibliografie [1] J.O. Aasen. On the
Page 327 and 328: BIBLIOGRAFIE 535 [31] S. Haykin. Ad
Page 329 and 330: Index acurateţe, 13 algoritmi la n
Page 331 and 332: INDEX 539 hermitică, 49, 215 Hesse
Page 333: INDEX 541 a algoritmului QR, 356 a
show all

Calculul valorilor si vectorilor proprii

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?