Calculul valorilor si vectorilor proprii

348 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Demonstraţie. Dacă µ ∈ λ(A), atunci min λ∈λ(A) |λ − µ| = 0 şi, deci, (4.343)
este, evident, satisfăcută. Dacă µ ∉ λ(A), atunci matricele µI n −A şi µI n −Λ sunt
nesingulare, iarmatriceleµI n −A−E şiµI n −Λ−V −1 EV suntsingulare. Rezultă că
matricea (µI n −Λ) −1 (µI n −Λ−V −1 EV) = I n −∆, unde ∆ = (µI n −Λ) −1 V −1 EV,
este singulară, i.e. există un vector z, cu ‖z‖ = 1, astfel încât (I n −∆)z = 0. De
aici, cu orice normă matriceală consistentă, obţinem
1 = ‖z‖ = ‖∆z‖ ≤ ‖∆‖·‖z‖ = ‖∆‖.
Pe de altă parte, oricare ar fi norma matriceală consistentă ‖·‖, care îndeplineşte
condiţia
‖diag(α 1 ,α 2 ,...,α n )‖ = max
i=1:n (|α i|),
(în particular ‖·‖ = ‖·‖ p
, p = 1,2,∞) avem
‖∆‖ ≤ ‖(µI n −Λ) −1 ‖·‖V −1 EV)‖ ≤
≤ max
i=1:n |µ−λ i| −1 ‖V −1 ‖·‖E‖·‖V‖ =
Din ultimele două relaţii rezultă
1 ≤
i.e. (4.343) este adevărată, q.e.d.
1
min i=1:n |µ−λ i | κ(V)‖E‖,
1
min i=1:n |µ−λ i | κ(V)‖E‖.
În primul rând remarcăm faptul că în demonstraţia teoremei Bauer-Fike nu s-a
utilizat ipoteza unor perturbaţii ”mici”, i.e. rezultatul este valabilpentru oricenivel
al perturbaţiilor.
Interpretând e(µ) ca sensibilitate numerică a(număr de condiţionareal) valorii
‖E‖ p
proprii λ pentru care se realizeazăminimul din (4.343) rezultă, pe de o parte, faptul
că numărul de condiţionarela inversareal matricei vectorilorproprii ai unei matrice
simple este o margine superioară pentru numerele de condiţionare individuale ale
fiecărei valori proprii.
Pe de altă parte, putem considera max µ∈λ(A+E) e(µ) drept influenţa matricei de
perturbaţie E asupra întreguluispectru a lui Aşi putem utiliza margineasuperioară
e(µ)
κ p (V) anumărului max µ∈λ(A+E) pentru apreciereasensibilităţii spectrului matricei
simple A. Întrucât vectorii proprii sunt determinaţi până la înmulţirea cu un
‖E‖
scalar nenul, pentru a elimina această nedeterminare, definirea condiţionării spectrului
unei matrice diagonalizabile se poate face prin intermediul numărului
κ (p)
Λ
(A) = min κ p (V), (4.344)
V ∈V A
unde V A este mulţimea tuturor matricelor de vectori proprii ai matricei A pentru
care avem V −1 AV = Λ.
✸