Calculul valorilor si vectorilor proprii

226 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
unde D i sunt discurile
numite discuri Gershgorin.
D i = {z ∈ IC | |z −a ii | ≤
n∑
|a ij |}, i = 1 : n, (4.67)
j=1
j≠i
Demonstraţie. Fie x un vector propriu asociat valorii proprii λ ∈ λ(A). Atunci
linia i a relaţiei Ax = λx se scrie
(λ−a ii )x i =
n∑
a ij x j , (4.68)
de unde rezultă |λ − a ii ||x i | ≤ ∑ n
j=1 |a ij ||x j |. Alegând linia i astfel încât |x i | =
j≠i
= max k=1:n (|x k |) ≠ 0, rezultă
|λ−a ii | ≤
j=1
j≠i
n∑
|a ij | |x j|
n
|x i | ≤ ∑
|a ij |, (4.69)
j=1
j≠i
j=1
j≠i
i.e. λ ∈ D i .
✸
Dacă o linie a matricei A are elementele extradiagonale nule, atunci elementul
diagonal este o valoare proprie a matricei A, iar discul Gershgorin corespunzător
liniei respective se reduce la punctul {a ii }. De asemenea, se poate arăta [I] că dacă
m discuri Gershgorin formează o mulţime disjunctă de mulţimea celorlalte n −m
discuri, atunci exact m valori proprii se găsesc situate în reuniunea celor m discuri.
În particular, un disc disjunct de celelalte conţine exact o valoare proprie 10 .
✻Imλ
✻Imλ
✬✩ ✬✩
λ 2
✓✏ ✓✏ ✓✏λ 2
✓✏
× λ 1 Reλ
× ✲ × λ 1 Reλ
× ✲
×
×
λ 3 ✒✑ ✒✑ ✒✑λ 3 ✒✑
✫✪ ✫✪
a) b)
Fig. 4.2: Utilizarea discurilor Gershgorin ”pe linii” (a) şi ”pe coloane” (b) pentru
localizarea valorilor proprii ai matricei din exemplul 4.2.
10 Discurile Gershgorin (4.67) ar putea fi denumite discuri-linie întrucât sunt construite cu
ajutorul liniilor matricei date. Cum transpusa matricei are acelaşi spectru, aplicând teorema
4.11 matricei transpuse obţinem o localizare a valorilor proprii în reuniunea discurilor Gershgorin
definite pe coloane. Evident, o localizare mai bună se obţine intersectând cele două domenii.