Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.3. ALGORITMUL DVS 401
⎡
J ← U2 H J =
⎢
⎣
× × 0
0 × ×
0 ∅ ×
0 0 0
0 0 0
Matricea succesor K = J ′ este bidiagonală şi
⎤
.
⎥
⎦
şi
T ′ = J ′H J ′ = (U H n−1···UH 1 JP 12V 2···V n−1 ) H U H n−1···UH 1 JP 12V 2···V n−1 =
= V H n−1···V H
2 P H 12J H U 1···U n−1 U H n−1···U H 1 JP 12 V 2···V n−1 = Q H J H JQ (5.89)
Qe 1 = P 12 V 2···V n−1 e 1 = P 12 e 1 (5.90)
este aceeaşi cu cea corespunzătoare pasului QR simetric implicit pentru matricea
tridiagonală T.
În consecinţă, matricea J k = J, care defineşte şirul DVS este astfel calculată
încât matricea T k = J H k J k defineşte şirul QR pentru matricea hermitică B = A H A
şi, prin urmare, este convergent la forma diagonală.
În conformitate cu cele prezentate mai sus, o iteraţie DVS este implementată
de următorul algoritm.
Algoritmul 5.2 (IT DVSc – Un pas DVS Golub-Kahan) (Daţi
vectorii f ∈ IC n şi g ∈ IC n−1 care definesc matricea bidiagonală (5.73)
şi matricele unitare U ∈ IC m×m şi V ∈ IC n×n , algoritmul calculează
matricea succesor J ← J ′ = Q H JQ din şirul DVS, mai exact, noii
vectori f ′ şi g ′ care suprascriu vectorii f şi g. Opţional, se actualizează
matricele U şi/sau V. Opţiunea se exprimă prin intermediul variabilelor
logice opt 1 şi opt 2 , care pot lua valorile logice ’da’ şi ’nu’. Dacă nu se
doreşte actualizarea, matricele U şi/sau V se returnează nemodificate.)
1. % Calculul deplasării Wilkinson
1. δ = (|g n−2 | 2 +|f n−1 | 2 −|g n−1 | 2 −|f n | 2 )/2
2. η = |f n−1 | 2 |g n−1 | 2
3. µ = |g n−1 | 2 +|f n | 2 η
+
δ +sgn(δ) √ δ 2 +η
[ ]
|f1 |
2. w =
2 −µ
f 1 ḡ 1
3. [w,c,s] = Gc(w)
4. % Se calculează J ← JP 12 . Fie τ elementul nenul care alterează
structura bidiagonală
1. α ← f 1 c−g 1¯s
2. g 1 ← f 1 s+g 1 c
3. f 1 ← α
4. τ ← −f 2¯s