Calculul valorilor si vectorilor proprii

266 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Algoritmul 4.8 (IT QR2 – Pas dublu QR cu deplasare implicită)
(Date o matrice superior Hessenberg ireductibilă H ∈ IR n×n şi vectorul
de deplasare implicită w ∈ IR 3 , algoritmul suprascrie matricea H cu matricea
succesor H ← H ′ = ˘Q T H ˘Q din şirul QR. Algoritmul furnizează,
de asemenea, elementele definitorii semnificative ale reflectorilor utilizaţi,
i.e. elementele definitorii ale blocurilor reflector 3×3 în matricele
V ∈ IR 3×(n−1) şi b ∈ IR n−1 .)
1. % Calculul şi aplicarea reflectorului U 1
1. [w,V(:,1),b 1 ] = Hr(w)
2. H(1:3,:) = Hrs(V(:,1),b 1 ,H(1:3,:))
3. H(1:min(4,n),1:3) = Hrd(H(1:min(4,n),1:3),V(:,1),b 1 )
2. % Refacerea formei superior Hessenberg
1. Pentru i = 2 : n−2
1. [H(i : i+2,i−1),V(:,i),b i ] = Hr(H(i : i+2,i−1))
2. H(i : i+2,i: n) = Hrs(V(:,i),b i ,H(i : i+2,i : n))
3. H(1 : min(i+3,n),i : i+2) =
= Hrd(H(1 : min(i+3,n),i : i+2),V(:,i),b i )
3. % Ultimul pas
1. [H(n−1 : n, n−2),V(1:2, n−1),b n−1 ] =
= Hr(H(n−1 : n,n−2))
2. H(n−1 : n, n−1 : n) =
= Hrs(V(1:2, n−1),b n−1 ,H(n−1 : n, n−1 : n))
3. H(:, n−1 : n) = Hrd(H(:,n−1 : n),V(1:2,n−1),b n−1 ).
Comentarii. Vom utiliza următoarea sintaxă de apel a algoritmului de mai sus
[H,V,b] = IT QR2(H,w).
Complexitatea unui pas dublu QR realizat de algoritmul 4.8 este O(n 2 ). Concret,
pentru execuţia algoritmului sunt necesari N op ≈ 24n 2 flopi (reali) la care se
adaugă cele n−1 extrageri de radical. Subliniem faptul că această soluţie este cea
mai eficientă implementare cunoscută a iteraţiilor QR pentru matricele reale, fiind
utilizată în toate programele profesionale de calcul al valorilor proprii.
Algoritmul 4.8 nu calculează actualizarea matricei de transformare curente Q
dar oferă, prin matricea V şi vectorul b, informaţia necesară pentru un eventual
calcul al acesteia.
✸
G. Algoritmul QR pentru matrice reale
Algoritmul QR pentru matrice reale 26 se obţine prin iterarea algoritmului 4.8,
anularea efectivă a elementelor subdiagonale devenite neglijabile şi exploatarea
26 Algoritmul ce urmează se poate aplica şi pentru calculul valorilor proprii ale matricelor
complexe (mai mult, în unele pachete profesionale de calcul numeric aşa se şi procedează).
Într-adevăr, dacă C ∈ IC n×n se scrie C = A+iB cu A, B ∈ IR n×n , atunci este uşor de arătat că