Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 273
elementelor definitorii ale permutărilor elementare). Transformările efectuate de
algoritmul QR aplicat blocului à 22 definite Ã22 ← S 22 = Q H 22Ã22Q 22 vor acţiona
şi asupra blocurilor Ã12 şi à 23 , i.e. vom efectua Ã12 ← Ã12Q 22 şi, respectiv,
à 23 ← Q H 22Ã23.
Algoritmul de reducere la forma (4.162), în care este utilizată instrucţiunea
break având semnificaţia precizată mai sus, este următorul.
Algoritmul 4.11 (Π – Evidenţierea, prin permutări, a valorilor
proprii izolate) (Dată matricea A ∈ IC n×n , algoritmul calculează o matrice
de permutare P astfel încât matricea à = PT AP să aibă structura
(4.162) având blocurile Ã11 = Ã(1 : k−1,1 : k−1) şi à 33 =
= Ã(l+1:n,l+1:n) superior triunghiulare iar blocul à 22 = Ã(k : l,k : l)
nu are nici o linie şi nici o coloană cu toate elementele extradiagonale
nule. Matricea à suprascrie matricea A, iar permutările elementare
sunt memorate prin elementele vectorului p ∈ IN n , p(i) ≠ i având
drept semnificaţie faptul că linia (şi coloana) i a fost permutată cu
linia (respectiv, coloana) p(i). Ordinea de aplicare a permutărilor este
p(n),p(n−1),...,p(l+1),p(1),p(2),...,p(k −1).)
1. p = [0 0 ... 0]
2. Pentru l = n : −1 : 1
1. Pentru i = l : −1 : 1
1. Dacă A(i,j) = 0, j = 1 : l, j ≠ i, atunci
1. A(i, :) ↔ A(l, :)
2. A(1 : l,i) ↔ A(1 : l,l)
3. p(l) = i
4. break i
altfel dacă i = 1 atunci
1. break l
3. Pentru k = 1 : l
1. Pentru j = k : l
1. Dacă A(i,j) = 0, i = k : l, i ≠ j, atunci
1. A(j,k : n) ↔ A(k,k : n)
2. A(1 : l,j) ↔ A(1 : l,k)
3. p(k) = j
4. break j
altfel dacă j = l atunci
1. break k
Comentarii. Vom utiliza în continuare următoarea sintaxă pentru apelarea algoritmului
de permutare de mai sus:
[A,p,k,l] = Π(A),
unde semnificaţia parametrilor este evidentă.