Calculul valorilor si vectorilor proprii

364 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
b) Fie A ∈ IR 2×2 o matrice cu toate elementele pozitive. Să se determine matricea ˜D =
= diag(˜δ 1,˜δ 2) astfel încât ‖˜D −1 A˜D‖ ∞ = min δ1 ,δ 2 ∈IR +
‖D −1 AD‖ ∞, unde D = diag(δ 1,δ 2).
Ce relaţie există între acest minim şi raza spectrală a matricei A Renunţând [ la condiţia ]
2 2
ca elementele matricei A să fie pozitive, arătaţi că pentru matricea A = avem
−3 4
ρ(A) < min δ1 ,δ 2 ∈IR +
‖D −1 AD‖ ∞.
[ ] −5 −8 8
P 4.37 Se consideră matricea simetrică A = −8 7 −16 . Folosind teorema
8 −16 7
discurilor lui Gershgorin să se extragă maximum de informaţie privind localizarea valorilor
proprii ale matricei A. Puteţi îmbunătăţi localizarea prin scalare
P 4.38 Se spune că o matrice A ∈ IC n×n este (strict) diagonal dominantă dacă |a ii| ≥ r i
(|a ii| > r i) pentru toţi i ∈ 1 : n, unde r i = ∑ n
|a ij| sunt razele discurilor Gershgorin.
a) Demonstraţi că omatrice strict diagonal dominantăeste nesingulară. b) Dacăomatrice
strict diagonal dominantă are elementele diagonale reale şi pozitive atunci Reλ i(A) > 0
pentru toţi i. c) Dacă A ∈ IC n×n strict diagonal dominantă este hermitică şi a ii > 0,
i = 1 : n, atunci λ i(A) > 0 pentru toţi i.
P 4.39 Demonstraţi inegalităţile
a) |detA| ≤
n∏
i=1( n∑
j=1
|a ij|
)
j=1
j≠i
, b) |detA| ≤
n∏
j=1( n∑
i=1
|a ij|
)
.
P 4.40 (Teorema lui Ostrovski) Fie A ∈ IC n×n . Notăm cu r i = ∑ n
c i = ∑ n
i=1
i≠j
j=1
j≠i
|a ij| şi, respectiv,
|a ij|, razele discurilor Gershgorin pentru matricele A şi, respectiv, A T . De
asemenea, fie α ∈ [0,1] fixat. Atunci λ(A) ⊆ D, unde D este reuniunea discurilor
D =
n⋃
D i,
i=1
D i = { }
z ∈ IC | |z −a ii| ≤ ri α c 1−α
i .
P 4.41 (Teorema lui Brauer) Fie A ∈ IC n×n . Atunci λ(A) ⊆ D, unde D este reuniunea
celor 1 (n−1)n ovaluri Cassini definite de
2
D =
n⋃
i,j=1
i≠j
O i,
O i = {z ∈ IC | |z −a ii||z −a jj| ≤ r ir j},
unde r i = ∑ n
j=1
j≠i
|a ij|, i = 1 : n, sunt razele discurilor Gershgorin.
P 4.42 Calculaţi forme Schur pentru matricele A =
[
1 −2
2 −3
]
, B =
[
1 1
−1 1
C = A + iB. În cazul matricelor reale determinaţi atât formele Schur reale cât şi cele
complexe.
]
,