Calculul valorilor si vectorilor proprii

412 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
Demonstraţie.
B = A H A.
Rezultatele sunt urmare directă aplicării teoremei 4.3 matricei
✸
În al doilea rând, avem următoarea caracterizare minimax a valorilor singulare
care îşi are originea în teorema Courant-Fisher (v. §4.1).
Teorema 5.10 Fie A ∈ IC n×n şi σ(A) = {σ 1 ,σ 2 ,...,σ p }, p = min(m,n), mulţimea
valorilor sale singulare. Atunci pentru toţi k ∈ 1 : p avem
σ k = max
dimV = k
min ‖Ax‖ = min
x ∈ V S dimV = n−k
unde ‖ · ‖ def
= ‖ · ‖ 2 este norma euclidiană în IC n .
max ‖Ax‖, (5.104)
x ∈ V S
Demonstraţie. Considerăm matricea hermitică B = A H A. Pentru orice vector
x ∈ IC n avem x H Bx = ‖Ax‖ 2 şi, presupunând că valorile proprii ale matricei B sunt
ordonate descrescător, λ k (B) = σk 2 . Cu aceste precizări, caracterizările minimax
(5.104) rezultă imediat din aplicarea teoremei Courant-Fisher matricei B. ✸
Corespondentul teoremei de separare 4.5 are următorul enunţ.
Teorema 5.11 (Teorema de separare a valorilor singulare) Fie A ∈ IC n×n . Notăm
def
def
A k = A(:,1 : k) sau A k = A(1 : k, :). Atunci valorile singulare ale matricei A k
separă valorile singulare ale matricei A k+1 , i.e.
σ 1 (A k+1 ) ≥ σ 1 (A k ) ≥ σ 2 (A k+1 ) ≥ ... ≥ σ k (A k+1 ) ≥ σ k (A k ) ≥ σ k+1 (A k+1 ),
(5.105)
pentru toţi k ∈ 1 : p−1, p = min(m,n).
Demonstraţie. Presupunem mai întâi că A k este matricea formată din primele k
coloane ale matricei A. Atunci submatricea lider principală de ordinul k a matricei
B = A H [k] def
A este dată de B = B(1:k,1:k) = A H k A k şi separarea (5.105) rezultă
din aplicarea directă a teoremei 4.5 matricei B. Dacă A k este matricea formată din
primele k linii ale matricei A, atunci inegalităţile (5.105) se obţin aplicând teorema
4.5 matricei C = AA H . ✸
Una din observaţiile imediate care rezultă din teorema 5.11 este aceea că adăugarea
unei coloane sau unei linii la o matrice dată are ca efect creşterea valorii
singulare maxime (i.e. a normei spectrale) şi scăderea valorii singulare minime.
O relaţie dintre valorile singulare a două matrice şi valorile singulare ale sumei
lor, dată în teorema următoare, este utilă în aprecierea influenţei perturbaţiilor
numerice în elementele unei matrice asupra valorilor sale singulare.
Teorema 5.12 Fie matricele A,E ∈ IC n×n . Atunci, cu notaţii evidente, avem
pentru toţi k ∈ 1 : min(m,n).
σ k (A)−σ 1 (E) ≤ σ k (A+E) ≤ σ k (A)+σ 1 (E) (5.106)