Calculul valorilor si vectorilor proprii

512 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
de unde pe blocuri rezultă
S 11 = R T 11R 11,
S 12 = R T 11R 12,
S 22 = R T 12R 12 −R T 22R 22.
Din prima relaţie, R 11 poate fi determinat aplicând algoritmul de factorizare Cholesky
dacă şi numai dacă
S 11 > 0. (7.4)
În acest caz, din a doua relaţie rezultă R 12 = R −T
11
S12, iar a treia devine
S 22 −S T 12(R T 11R 11) −1 S 12 = −R T 22R 22.
Prin urmare R 22 poate fi determinat (aplicând din nou algoritmul de factorizare Cholesky)
dacă şi numai dacă
not
˜S 22 = S 22 −S12S T −1
11 S 12 < 0. (7.5)
(Prin definiţie, matricea ˜S 22 constituie complementul Schur al lui S 11 în S.)
În al doilea caz trebuie să avem
[ ] [ ][ ][ ]
S11 S 12 L
T
S12 T = 11 L T 21 Ip 0 L11 0
S 22 0 L T , (7.6)
22 0 −I q L 21 L 22
de unde, procedând analog obţinem condiţiile
S 22 < 0, (7.7)
˜S 11
not
= S 11 −S 12S −1
22 S T 12 > 0. (7.8)
În particular, dacă au loc condiţiile ”de punct şa” (7.4) şi (7.7), atunci şi celelalte două
condiţii, (7.5) şi (7.8) sunt satisfăcute, deci ambele factorizări (7.3) şi (7.6) există şi pot
fi calculate aplicând algoritmul de factorizare Cholesky blocurilor S 11, −˜S 22 şi respectiv
−S 22, ˜S 11.
d. Arătaţi întâi că A şi B trebuie să fie inversabile.
P3.12 Rotaţia P ki modifică numai elementele de indici k şi i ale lui x.
P3.14 a. Tinând seama de observaţia 3.2, putem utiliza secvenţele P = P 1m...P 13P 12
sau P = P 12P 23...P m−1,m.
b. Întâianulămcomponentele 2, 4, 6, ..., utilizândsecvenţaS(1) = P 12P 34P 56...; apoi
anulăm componentele 3, 7, 11, ..., utilizând secvenţa S (2) = P 13P 57P 9,11...; mai departe
se aplică S (3) = P 15P 9,13... etc. Transformarea căutată conţine m − 1 rotaţii, grupate
în secvenţe de rotaţii disjuncte, i.e. P = S (p) ...S (2) S (1) , unde p ≤ log 2 m. Observaţi că
rotaţiile ce compun o secvenţă pot fi aplicate în orice ordine (i.e. comută), dar că ordinea
secvenţelor este predeterminată.
P3.16 a. J = diag(1,−1). Prin urmare ‖Px‖ 2 J = ‖x‖ 2 J = x 2 1 −x 2 2.
b. Ambele probleme sunt rău condiţionate în vecinătatea ”conului” x 1 = ±x 2.
P3.17 Pentru orice transformare unitară U avem ‖Ux‖ = ‖x‖ = √ 7.
a. Există două posibilităţi. Dacă Q = Q H este un reflector hermitic atunci obţinem
⎧
⎪⎨
⎪⎩
σ = x1 1+i√ ‖x‖ = √ 7,
|x 1| 2
u 1 = 1+
√
2 2+i
, u2 =
7 1+i
√
2
7 , β = u1.