Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.6. CALCULUL SUBSPAŢIILOR INVARIANTE 287
Fie o matrice A ∈ IC n×n , S = Q H AQ o formă Schur a acesteia şi următoarele
partiţii ale matricelor S şi Q
Avem
S =
k n−k
{}}{ {}}{
k n−k
[ ] {}}{ {}}{
S11 S 12 }k
0 S 22 }n−k , Q = [ ]
Q1 Q 2
. (4.193)
AQ 1 = Q 1 S 11 (4.194)
i.e., conform propoziţiei 4.1, V = ImQ 1 este un subspaţiu A-invariant, subspaţiu
pe care îl asociem, în mod natural, cu setul de valori proprii λ(S 11 ) ⊂ λ(A), unde
S 11 = A|S este restricţia lui A la V. Altfel spus, coloanelematricei Q 1 = Q(:, 1 : k)
formează o bază ortonormală a subspaţiului A-invariant asociat valorilor proprii ale
matricei A date de primele k elemente diagonale ale matricei S.
În cazul real, consideraţiile de mai sus rămân valabile cu singurul amendament
că subspaţiile invariante reale ale unei matrice reale se asociază întotdeauna unor
seturisimetricede valoriproprii 35 , faptindus de posibilitateaunorpartiţiide forma
(4.193) unde, de data aceasta, S este în formă Schur reală.
Ţinând seama de cele de mai sus, un subspaţiu A-invariant este complet definit
de un set de valori proprii, iar calculul său se reduce, în definitiv, la obţinerea unei
forme Schur S = Q H AQ în care setul de valori proprii precizat coincide cu spectrul
de valori proprii al submatricei lider principale de dimensiune corespunzătoare.
O dată obţinută această formă Schur, baza căutată este dată de primele coloane
ale matricei de transformare Q. Prin urmare, după aplicarea algoritmului QR şi
obţinerea unei prime forme Schur, în care elementele (blocurile, în cazul real) diagonale
nu au o ordine predeterminată, calculul unui subspaţiu invariant se reduce
la ordonarea elementelor diagonale (i.e. aducerea în primele poziţii diagonale a
valorilor proprii vizate), prin transformări unitare (ortogonale) de asemănare, şi
actualizarea matricei de transformare Q.
Avându-se în vedere faptul că, datorită structurii (cvasi)superior triunghiulare
a matricei S, permutarea a două elemente (blocuri) neadiacente nu este posibilă
printr-o transformare elementară (rotaţie sau reflector) fără alterarea structurii,
mecanismul de ordonare a formei Schur constă dintr-o secvenţă de permutări de
elemente (blocuri) diagonale adiacente.
4.6.1 Ordonarea formei Schur
În cazul complex forma Schur este triunghiulară astfel că este suficient să stabilim
o procedură de permutare a două elemente diagonale adiacente (vecine). Pentru
aceasta, considerăm mai întâi o matrice superior triunghiulară de ordinul doi S ∈
∈ IC 2×2 cu valorile proprii distincte, i.e. s 11 ≠ s 22 . Fie x 2 un vector propriu unitar
al matricei S asociat valorii proprii λ 2 = s 22 , i.e. (exerciţiu pentru cititor),
x 2 = e iθ y
‖y‖ , unde y = [
]
s 12
, (4.195)
s 22 −s 11
35 Reamintim că prin set simetric înţelegem o mulţime numerică în care elementele complexe
apar în perechi complex conjugate.