Calculul valorilor si vectorilor proprii

330 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
nesimetric, în care algoritmul QR s-a impus definitiv ca fiind fără rival, în cazul
simetric există soluţii alternative, cu performanţe comparabile cu cele ale algoritmului
QR. Utilizarea tehnicilor alternative este recomandată mai ales în situaţii
particulare. Menţionăm, în acest sens, problemele de calcul al unui grup restrâns
de valori proprii sau implementări pe maşini cu arhitecturi specifice, e.g. calculatoarele
paralele cu memorie distribuită.
Vom prezenta mai întâi unele tehnici de calcul al unei valori proprii sau al
unui grup redus de valori proprii, cum sunt iterarea câtului Rayleigh sau metoda
bisecţiei, iar apoi metodele de tip Jacobi, consacrate calculului întregului spectru.
Pentru metodele ale căror iteraţii conservă structura tridiagonală simetrică, vom
presupune parcursă etapa directă, de reducere la forma tridiagonală cu ajutorul
algoritmului TQ. În consecinţă, în aceste situaţii, matricea tridiagonală simetrică
T ∈ IR n×n se va considera dată prin vectorul f ∈ IR n al elementelor diagonale şi
vectorul g ∈ IR n−1 al elementelor sub- şi supradiagonale.
4.9.1 Metoda câtului Rayleigh
Aşa cum s-avăzutla metodaputerii inverse, de calcul iterativalunui vectorpropriu
(vezisecţiunea4.3), fiindcunoscutăaproximaţia ˆx ≠ 0avectoruluipropriuxasociat
valorii proprii λ a unei matrice T ∈ IR n×n , câtul Rayleigh al vectorului ˆx în raport
cu matricea T, definit prin
µ = r(ˆx) = ˆxT Tˆx
, (4.298)
ˆx Tˆx
constituie cea mai bună aproximaţie, în sens CMMP, a valorii proprii λ. Aplicând
acumunpasalmetodeiputeriiinversecudeplasareaµ,obţinemoaproximaţieşimai
bună pentru vectorul propriu asociat lui λ şi, pe baza câtului Rayleigh din (4.298),
o aproximaţie superioară pentru însuşi λ. Altfel spus, adaptând algoritmul 4.2, de
implementare a metodei puterii inverse cu deplasare Rayleigh, la cazul matricelor
simetrice se obţine un mijloc performant de calcul al unei valori proprii (în general,
fără posibilităţi de selecţie a acesteia) şi al unui vector propriu asociat. Invităm
cititorul să facă această adaptare prin exploatarea simetriei în rezolvarea sistemului
liniar ce defineşte o iteraţie a metodei puterii inverse. Precizăm că o prealabilă
reducere la forma tridiagonală nu se justifică decât dacă se urmăreşte calculul,
pe această cale, al mai multor valori şi vectori proprii. În [VI] se afirmă (şi se
demonstrează într-un caz particular) convergenţa globală şi asimptotic cubică (i.e.
extrem de rapidă) a algoritmului şi se evidenţiază conexiunea cu algoritmul QR
simetric care, într-o formă implicită, uzează de această tehnică.
4.9.2 Metoda bisecţiei
Metoda bisecţiei (sau metoda Givens [IV]) este utilizată pentru determinarea unei
valori proprii sau a unui grup relativ redus de valori proprii 52 .
Fie matricea tridiagonală simetrică T ∈ IR n×n definită prin vectorul f ∈ IR n
al elementelor diagonale şi vectorul g ∈ IR n−1 al elementelor extradiagonale. Pre-
52 Se apreciază că metoda poate fi considerată eficientă pentru determinarea a cel mult 40% din
valorile proprii ale unei matrice.