Calculul valorilor si vectorilor proprii

228 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
în mod necesar un proces (iterativ) infinit, aceeaşi situaţie apărând şi la calculul
vectorilor proprii fără a se cunoaşte valorile proprii asociate.
De aceea, una din ideile aflate la baza asigurării eficienţei tehnicilor de calcul
a valorilor şi vectorilor proprii este exploatarea rezultatelor parţiale prin reducerea
corespunzătoare a dimensiunii problemei. În sprijinul aplicării acestei idei vin
următoarele rezultate.
Propoziţia 4.2 Fie A ∈ IC n×n şi X ⊂ IC n un subspaţiu A-invariant p-dimensional
dat printr-o bază ortogonală x 1 , x 2 , ..., x p . Atunci există o matrice unitară Q ∈
∈ IC n×n cu Q(:,j) = x j , j = 1:p, astfel încât
[ ]
Q H S11 S
AQ = 12
, (4.72)
0 S 22
cu S 11 ∈ IC p×p .
În cazul real, i.e. A ∈ IR n×n şi X ⊂ IR n , matricea Q poate fi reală (i.e. ortogonală),
iar matricea reală Q T AQ are structura (4.72).
Demonstraţie. Fie Q(:,1:p) = X def
= [x 1 x 2 ··· x p ] şi Y ∈ IC n×(n−p) o bază
ortogonală a complementului ortogonal Y = X ⊥ al lui X în IC n . Atunci matricea
Q = [X Y ] este unitară. Conform propoziţiei 4.1, punctul 2 ◦ , există o matrice
S 11 ∈ IC p×p cu λ(S 11 ) ⊂ λ(A) astfel încât AX = XS 11 , i.e. X H AX = S 11 . În plus
Y H AX = Y H XS 11 = 0. În consecinţă avem
[ ]
S=Q H X
H
AQ=
Y H A [ X Y ] [ ] [ ]
X
=
H AX X H AY S11 S
Y H AX Y H = 12
AY 0 S 22
(4.73)
unde, evident, S 12 = X H AY, S 22 = Y H AY. q.e.d.
În cazul real, conform aceleiaşi propoziţii 4.1, toate subspaţiile implicate în
demonstraţia de mai sus sunt în IR n , iar matricea Q este ortogonală. Evident, în
acest caz spectrul matricei S 11 este o submulţime simetrică a spectrului matricei A.
Demonstraţia este completă.
✸
Observaţia 4.3 CalcululmatriceiunitaredeasemănareQestecondiţionatesenţial
de cunoaşterea unei baze V = [v 1 v 2 ··· v p ] a subspaţiului A-invariant X. În acest
caz, construcţia unei baze ortogonale X a lui X şi a unei completări ortogonale Y
se poate face după recomandările din capitolul 3. Concret, dacă
[ ]
R1
V = Q
0
este factorizarea QR (complexă) a matricei V, unde Q ∈ IC n×n este unitară, iar
R 1 ∈ IC p×p este nesingulară, atunci X = Q(:,1 : p), Y = Q(:,p +1 : n) sunt
cele două baze ortogonale căutate, iar Q este matricea de transformare unitară de
asemănare din (4.72).
✸
Pentru p = 1 baza V a subspaţiului A-invariant din propoziţia 4.2 se reduce
la un vector propriu x de normă unitară asociat valorii proprii λ. În acest caz
propoziţia 4.2 se particularizează în următoarea lemă.